Найди центр тяжести однородного тела ограниченного указанными поверхностями

Предмет: Математика
Раздел: Аналитическая геометрия и многомерное интегрирование (многомерные интегралы, центр тяжести тела)

Задание: Найти центр тяжести однородного тела, ограниченного следующими поверхностями:

• S_1: x^2 + y^2 + z^2 = R^2 — сфера радиуса R;
• S_2: x^2 + y^2 = r^2, где r < R — круговой цилиндр;
• S_3: z = 0 — плоскость (основание).

Шаг 1: Геометрия тела

Тело ограничено:

• Сферой радиуса R;
• Цилиндром радиуса r вдоль оси z;
• Плоскостью z = 0 (т.е. тело лежит в верхней полусфере).

Таким образом, тело — это часть сферы радиуса R, вырезанная цилиндром радиуса r и ограниченная снизу плоскостью z = 0.

Шаг 2: Центр тяжести

Так как тело однородное, его центр тяжести совпадает с центром масс.
Из-за симметрии по осям x и y, координаты центра тяжести по x и y равны нулю:

\bar{x} = 0,\quad \bar{y} = 0

Остаётся найти координату \bar{z}.

Шаг 3: Формула для центра тяжести по оси z

 \bar{z} = \frac{1}{V} \iiint\limits_{V} z \, dV 

Где V — объём тела.

Шаг 4: Переход к цилиндрическим координатам

Так как тело симметрично вокруг оси z и ограничено цилиндром x^2 + y^2 = r^2, удобно перейти к цилиндрическим координатам:

 \begin{cases} x = \rho \cos \theta \ y = \rho \sin \theta \ z = z \end{cases} 

Якобиан перехода: dV = \rho \, d\rho \, d\theta \, dz

Шаг 5: Пределы интегрирования

• \rho \in [0, r]
• \theta \in [0, 2\pi]
• z \in [0, \sqrt{R^2 - \rho^2}] — из уравнения сферы x^2 + y^2 + z^2 = R^2

Шаг 6: Вычисление объёма

 V = \iiint\limits_{V} dV = \int_0^{2\pi} \int_0^{r} \int_0^{\sqrt{R^2 - \rho^2}} \rho \, dz \, d\rho \, d\theta 

Внутренний интеграл:

 \int_0^{\sqrt{R^2 - \rho^2}} \rho \, dz = \rho \sqrt{R^2 - \rho^2} 

Далее:

 V = \int_0^{2\pi} \int_0^r \rho \sqrt{R^2 - \rho^2} \, d\rho \, d\theta 

Интеграл по \theta даёт 2\pi:

 V = 2\pi \int_0^r \rho \sqrt{R^2 - \rho^2} \, d\rho 

Подстановка: u = R^2 - \rho^2,\quad du = -2\rho d\rho

 V = 2\pi \cdot \left( -\frac{1}{2} \int_{R^2}^{R^2 - r^2} \sqrt{u} \, du \right) = \pi \int_{R^2 - r^2}^{R^2} u^{1/2} \, du 

 V = \pi \left[ \frac{2}{3} u^{3/2} \right]_{R^2 - r^2}^{R^2} = \frac{2\pi}{3} \left( R^3 - (R^2 - r^2)^{3/2} \right) 

Шаг 7: Вычисление \bar{z}

 \bar{z} = \frac{1}{V} \iiint\limits_{V} z \, dV = \frac{1}{V} \int_0^{2\pi} \int_0^r \int_0^{\sqrt{R^2 - \rho^2}} z \rho \, dz \, d\rho \, d\theta 

Внутренний интеграл:

 \int_0^{\sqrt{R^2 - \rho^2}} z \rho \, dz = \rho \cdot \left[ \frac{1}{2} z^2 \right]_0^{\sqrt{R^2 - \rho^2}} = \frac{1}{2} \rho (R^2 - \rho^2) 

Тогда:

 \bar{z} = \frac{1}{V} \cdot \int_0^{2\pi} \int_0^r \frac{1}{2} \rho (R^2 - \rho^2) \, d\rho \, d\theta 

Интегрируем:

 \int_0^r \rho (R^2 - \rho^2) \, d\rho = R^2 \int_0^r \rho \, d\rho - \int_0^r \rho^3 \, d\rho = R^2 \cdot \frac{r^2}{2} - \frac{r^4}{4} 

 = \frac{R^2 r^2}{2} - \frac{r^4}{4} 

Теперь:

 \bar{z} = \frac{1}{V} \cdot \frac{1}{2} \cdot 2\pi \left( \frac{R^2 r^2}{2} - \frac{r^4}{4} \right) = \frac{\pi \left( R^2 r^2 - \frac{r^4}{2} \right)}{V} 

Шаг 8: Подставляем объём

 V = \frac{2\pi}{3} \left( R^3 - (R^2 - r^2)^{3/2} \right) 

И окончательная формула:

 \bar{z} = \frac{ \pi \left( R^2 r^2 - \frac{r^4}{2} \right) }{ \frac{2\pi}{3} \left( R^3 - (R^2 - r^2)^{3/2} \right) } = \frac{3 \left( R^2 r^2 - \frac{r^4}{2} \right)}{2 \left( R^3 - (R^2 - r^2)^{3/2} \right)} 

Ответ:

Координаты центра тяжести однородного тела:

 \bar{x} = 0,\quad \bar{y} = 0,\quad \bar{z} = \frac{3 \left( R^2 r^2 - \frac{r^4}{2} \right)}{2 \left( R^3 - (R^2 - r^2)^{3/2} \right)}