Нарисовать график уравнения

Предмет: Математика

Раздел: Аналитическая геометрия, трехмерные поверхности

Условие задачи:

Нарисовать график уравнения $\text{(}z+x^2+4y^2=1,z=0\text{)}$.

Шаг 1. Упрощение уравнения

Дано уравнение: $\text{[}z+x^2+4y^2=1\text{]}$ и $\text{(}z=0\text{)}$.

Подставляем $\text{(}z=0\text{)}$ в исходное уравнение:

$\text{[}0+x^2+4y^2=1\text{]}$

Таким образом, у нас остается уравнение:

$\text{[}{x}^2+4y^2=1\text{]}$

Это уравнение эллипса в плоскости $\text{(}z=0\text{)}$.

Шаг 2. Анализ уравнения эллипса

Уравнение $\text{(}{x}^2+4y^2=1\text{)}$ имеет вид эллипса.

Рассмотрим его стандартную форму. Для этого запишем уравнение в виде:

$\text{[}\frac{x^2}{1^2}+\frac{y^2}{{\left(\frac{1}{2}\right)}^2}=1\text{]}$

Это стандартное уравнение эллипса, где полуоси равны:

• полукрупная ось вдоль оси $\text{(}x\text{)}$ равна 1,
• полумалая ось вдоль оси $\text{(}y\text{)}$ равна $\text{(}\frac{1}{2}\text{)}$.

Шаг 3. Построение графика

На плоскости $\text{(}z=0\text{)}$ эллипс будет иметь следующие свойства:

• Центр эллипса расположен в точке $\text{(}(0,0,0)\text{)}$.
• Длина оси вдоль оси $\text{(}x\text{)}$ составляет 2 (так как полукрупная ось — 1, но полной длины — $\text{(}2\times 1=2\text{)}$).
• Длина оси вдоль оси $\text{(}y\text{)}$ составляет 1 (так как полумалая ось — $\text{(}\frac{1}{2}\text{)}$, но полной длины — $\text{(}2\times \frac{1}{2}=1\text{)}$).

Шаг 4. Графический рисунок

Чтобы нарисовать график этого эллипса на плоскости $\text{(}xOy\text{)}$ (при $\text{(}z=0\text{)}$), отметим несколько точек:

• $\text{(}(x=1,y=0)\text{)}$
• $\text{(}(x=-1,y=0)\text{)}$
• $\text{(}(x=0,y=\frac{1}{2})\text{)}$
• $\text{(}(x=0,y=-\frac{1}{2})\text{)}$

Теперь можно соединить эти точки плавной кривой эллипса. В двухмерном пространстве это будет выглядеть как эллипс с центром в начале координат.

Конечный вывод:

График уравнения $\text{(}z+x^2+4y^2=1\text{)}$ при $\text{(}z=0\text{)}$ представляет собой эллипс на плоскости $\text{(}xOy\text{)}$ с полуосями:

• вдоль оси $\text{(}x\text{)}$ — 1,
• вдоль оси $\text{(}y\text{)}$ — $\text{(}\frac{1}{2}\text{)}$.

Графика реализовать текстом невозможно, однако схематично описать можно так:

• Ось $\text{(}x:[-1,1]\text{)}$
• Ось $\text{(}y:[-1/2,1/2]\text{)}$
• График представляет собой эллипс, вытянутый по оси $\text{(}x\text{)}$.

Нарисуй эллипс, который находится внутри прямоугольника, где по оси $\text{(}x\text{)}$ от точки $-1$ до $1$, а по оси $\text{(}y\text{)}$ — от точки $\text{(}-\frac{1}{2}\text{)}$ до $\text{(}\frac{1}{2}\text{)}$.