Нарисовать график уравнения

Предмет: Математика

Раздел: Аналитическая геометрия, трехмерные поверхности

Условие задачи:

Нарисовать график уравнения \( z + x^2 + 4y^2 = 1, z = 0 \).

Шаг 1. Упрощение уравнения

Дано уравнение: \[ z + x^2 + 4y^2 = 1 \] и \( z = 0 \).

Подставляем \( z = 0 \) в исходное уравнение:

\[ 0 + x^2 + 4y^2 = 1 \]

Таким образом, у нас остается уравнение:

\[ x^2 + 4y^2 = 1 \]

Это уравнение эллипса в плоскости \( z = 0 \).

Шаг 2. Анализ уравнения эллипса

Уравнение \( x^2 + 4y^2 = 1 \) имеет вид эллипса.

Рассмотрим его стандартную форму. Для этого запишем уравнение в виде:

\[ \frac{x^2}{1^2} + \frac{y^2}{\left(\frac{1}{2}\right)^2} = 1 \]

Это стандартное уравнение эллипса, где полуоси равны:

• полукрупная ось вдоль оси \( x \) равна 1,
• полумалая ось вдоль оси \( y \) равна \( \frac{1}{2} \).

Шаг 3. Построение графика

На плоскости \( z = 0 \) эллипс будет иметь следующие свойства:

• Центр эллипса расположен в точке \( (0, 0, 0) \).
• Длина оси вдоль оси \( x \) составляет 2 (так как полукрупная ось — 1, но полной длины — \( 2 \times 1 = 2 \)).
• Длина оси вдоль оси \( y \) составляет 1 (так как полумалая ось — \( \frac{1}{2} \), но полной длины — \( 2 \times \frac{1}{2} = 1 \)).

Шаг 4. Графический рисунок

Чтобы нарисовать график этого эллипса на плоскости \( xOy \) (при \( z = 0 \)), отметим несколько точек:

• \( (x = 1, y = 0) \)
• \( (x = -1, y = 0) \)
• \( (x = 0, y = \frac{1}{2}) \)
• \( (x = 0, y = -\frac{1}{2}) \)

Теперь можно соединить эти точки плавной кривой эллипса. В двухмерном пространстве это будет выглядеть как эллипс с центром в начале координат.

Конечный вывод:

График уравнения \( z + x^2 + 4y^2 = 1 \) при \( z = 0 \) представляет собой эллипс на плоскости \( xOy \) с полуосями:

• вдоль оси \( x \) — 1,
• вдоль оси \( y \) — \( \frac{1}{2} \).

Графика реализовать текстом невозможно, однако схематично описать можно так:

• Ось \( x: [-1, 1] \)
• Ось \( y: [-1/2, 1/2] \)
• График представляет собой эллипс, вытянутый по оси \( x \).

Нарисуй эллипс, который находится внутри прямоугольника, где по оси \( x \) от точки -1 до 1, а по оси \( y \) — от точки \( -\frac{1}{2} \) до \( \frac{1}{2} \).