Написать уравнения прямых AB, AC, AD, BC, BD, CD в каноническом, параметрическом видах, а такке в виде системы линейных уравнений

Предмет: Геометрия
Раздел: Аналитическая геометрия в пространстве (3D) — уравнение прямой в пространстве.

Шаг 1: Найдём направляющие векторы для прямых

Для каждой пары точек найдём направляющий вектор прямой, соединяющей эти точки. Пусть прямая проходит через точку ( P_0(x_0, y_0, z_0) ) и имеет направляющий вектор ( \vec{v} = (a, b, c) ). Тогда:

• Параметрическое уравнение прямой:  \begin{cases} x = x_0 + at \ y = y_0 + bt \ z = z_0 + ct \end{cases} 

• Каноническое уравнение прямой:  \frac{x - x_0}{a} = \frac{y - y_0}{b} = \frac{z - z_0}{c} 

• Уравнение в виде системы линейных уравнений: получаем, исключая параметр ( t ) из параметрической формы.

1. Прямая AB

Точки:
A(4, 4, 1), B(6, 8, 4)
Направляющий вектор:
\vec{AB} = (6 - 4, 8 - 4, 4 - 1) = (2, 4, 3)

Параметрические уравнения:  \begin{cases} x = 4 + 2t \ y = 4 + 4t \ z = 1 + 3t \end{cases} 

Канонические уравнения:  \frac{x - 4}{2} = \frac{y - 4}{4} = \frac{z - 1}{3} 

Система линейных уравнений:
Исключим параметр ( t ) из параметрических уравнений:

Из первых двух:  \frac{x - 4}{2} = \frac{y - 4}{4} \Rightarrow 2(y - 4) = 4(x - 4) \Rightarrow 2y - 8 = 4x - 16 \Rightarrow 4x - 2y = 8 

Из первых и третьих:  \frac{x - 4}{2} = \frac{z - 1}{3} \Rightarrow 3(x - 4) = 2(z - 1) \Rightarrow 3x - 12 = 2z - 2 \Rightarrow 3x - 2z = 10 

Итак, система:  \begin{cases} 4x - 2y = 8 \ 3x - 2z = 10 \end{cases} 

2. Прямая AC

A(4, 4, 1), C(-2, 0, -8)
\vec{AC} = (-2 - 4, 0 - 4, -8 - 1) = (-6, -4, -9)

Параметрические уравнения:  \begin{cases} x = 4 - 6t \ y = 4 - 4t \ z = 1 - 9t \end{cases} 

Канонические уравнения:  \frac{x - 4}{-6} = \frac{y - 4}{-4} = \frac{z - 1}{-9} 

Система линейных уравнений:

Из первых двух:  \frac{x - 4}{-6} = \frac{y - 4}{-4} \Rightarrow -4(x - 4) = -6(y - 4) \Rightarrow -4x + 16 = -6y + 24 \Rightarrow 6y - 4x = 8 

Из первых и третьих:  \frac{x - 4}{-6} = \frac{z - 1}{-9} \Rightarrow -9(x - 4) = -6(z - 1) \Rightarrow -9x + 36 = -6z + 6 \Rightarrow 6z - 9x = 30 

Система:  \begin{cases} 6y - 4x = 8 \ 6z - 9x = 30 \end{cases} 

3. Прямая AD

A(4, 4, 1), D(0, 4, -5)
\vec{AD} = (-4, 0, -6)

Параметрические уравнения:  \begin{cases} x = 4 - 4t \ y = 4 \ z = 1 - 6t \end{cases} 

Канонические уравнения:  \frac{x - 4}{-4} = \frac{z - 1}{-6}, \quad y = 4 

Система:

Из канонической:  -6(x - 4) = -4(z - 1) \Rightarrow -6x + 24 = -4z + 4 \Rightarrow 4z - 6x = 20 

Система:  \begin{cases} y = 4 \ 4z - 6x = 20 \end{cases} 

4. Прямая BC

B(6, 8, 4), C(-2, 0, -8)
\vec{BC} = (-8, -8, -12)

Параметрические уравнения:  \begin{cases} x = 6 - 8t \ y = 8 - 8t \ z = 4 - 12t \end{cases} 

Канонические уравнения:  \frac{x - 6}{-8} = \frac{y - 8}{-8} = \frac{z - 4}{-12} 

Система:

Из первых двух:  \frac{x - 6}{-8} = \frac{y - 8}{-8} \Rightarrow x - 6 = y - 8 \Rightarrow x - y = -2 

Из первых и третьих:  -12(x - 6) = -8(z - 4) \Rightarrow -12x + 72 = -8z + 32 \Rightarrow 8z - 12x = 40 

Система:  \begin{cases} x - y = -2 \ 8z - 12x = 40 \end{cases} 

5. Прямая BD

B(6, 8, 4), D(0, 4, -5)
\vec{BD} = (-6, -4, -9)

Параметрические уравнения:  \begin{cases} x = 6 - 6t \ y = 8 - 4t \ z = 4 - 9t \end{cases} 

Канонические уравнения:  \frac{x - 6}{-6} = \frac{y - 8}{-4} = \frac{z - 4}{-9} 

Система:

Из первых двух:  -4(x - 6) = -6(y - 8) \Rightarrow -4x + 24 = -6y + 48 \Rightarrow 6y - 4x = 24 

Из первых и третьих:  -9(x - 6) = -6(z - 4) \Rightarrow -9x + 54 = -6z + 24 \Rightarrow 6z - 9x = 30 

Система:  \begin{cases} 6y - 4x = 24 \ 6z - 9x = 30 \end{cases} 

6. Прямая CD

C(-2, 0, -8), D(0, 4, -5)
\vec{CD} = (2, 4, 3)

Параметрические уравнения:  \begin{cases} x = -2 + 2t \ y = 0 + 4t \ z = -8 + 3t \end{cases} 

Канонические уравнения:  \frac{x + 2}{2} = \frac{y}{4} = \frac{z + 8}{3} 

Система:

Из первых двух:  4(x + 2) = 2y \Rightarrow 4x + 8 = 2y \Rightarrow 2y - 4x = 8 

Из первых и третьих:  3(x + 2) = 2(z + 8) \Rightarrow 3x + 6 = 2z + 16 \Rightarrow 3x - 2z = 10 

Система:  \begin{cases} 2y - 4x = 8 \ 3x - 2z = 10 \end{cases} 

Если нужно, могу оформить все уравнения в таблицу для наглядности.