Написать уравнения прямой (CD), плоскости АВС

Данное задание относится к разделу аналитической геометрии.

Мы будем работать с уравнениями прямых и плоскостей в пространстве, а также находить расстояния и точки пересечения.

1. Уравнение прямой CD

Чтобы составить параметрическое уравнение прямой, соединяющей точки C и D, нужно сначала найти вектор направления этой прямой. Для точек C(0, -2, 3) и D(5, 2, 1), вектор CD будет:

CD = D - C = (5 - 0, 2 - (-2), 1 - 3) = (5, 4, -2).

Параметрическое уравнение прямой CD будет:

x = 0 + 5t = 5t
y = -2 + 4t
z = 3 - 2t

2. Уравнение плоскости ABC

Для нахождения уравнения плоскости через три точки A, B и C, сначала нужно определить нормальный вектор плоскости, который можно найти, используя векторы AB и AC:

A(-1, 2, 4), B(1, 3, 1), C(0, -2, 3).

Вектор AB: B - A = (1 + 1, 3 - 2, 1 - 4) = (2, 1, -3).
Вектор AC: C - A = (0 + 1, -2 - 2, 3 - 4) = (1, -4, -1).

Нормальный вектор \? к плоскости можно найти, вычислив векторное произведение векторов AB и AC:

\? = AB × AC = |i j k|
|2 1 -3|
|1 -4 -1|

Вычисление детерминанта даёт:

\? = (1*(-1) - (-3)*(-4))i - (2*(-1) - (-3)*1)j + (2*(-4) - 1*1)k =
(-1 - 12)i - (-2 + 3)j + (-8 - 1)k =
(-13)i + 1j - 9k

Нормальный вектор \? = (-13, 1, -9).

Уравнение плоскости имеет вид:

-13(x + 1) + (y - 2) - 9(z - 4) = 0

Раскроем скобки:

-13x - 13 + y - 2 - 9z + 36 = 0

-13x + y - 9z + 21 = 0.

3. Расстояние от точки D до плоскости ABC

Расстояние d от точки (x_0, y_0, z_0) до плоскости Ax + By + Cz + D = 0 вычисляется по формуле:

d = |Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D| / sqrt(A^2 + B^2 + C^2).

В нашем случае A = -13, B = 1, C = -9 и D = 21. Точка D(5, 2, 1).

Подставляем в формулу:

d = |-13*5 + 1*2 - 9*1 + 21| / sqrt((-13)^2 + 1^2 + (-9)^2) =
|-65 + 2 - 9 + 21| / sqrt(169 + 1 + 81) =
| -51 | / sqrt(251) =
51 / sqrt(251).

4. Точка пересечения прямой L с плоскостью ABC

Прямая L задана параметрически:

x = -3t - 3, y = t + 1, z = 4t.

Подставим эти выражения в уравнение плоскости, чтобы найти параметр t, при котором прямая пересечет плоскость:

-13(-3t - 3) + (t + 1) - 9(4t) + 21 = 0

Решим уравнение:

39t + 39 + t + 1 - 36t + 21 = 0
4t + 61 = 0
4t = -61
t = -61/4.

Подставим t обратно в параметрические уравнения прямой L, чтобы найти координаты точки пересечения:

x = -3(-61/4) - 3 = 183/4 - 3 = 171/4,
y = (-61/4) + 1 = -57/4,
z = 4(-61/4) = -61.

Таким образом, точка пересечения имеет координаты (171/4, -57/4, -61).

Итог

• Уравнение прямой CD,
• Уравнение плоскости ABC,
• Расстояние от точки D до плоскости ABC,
• Точку пересечения прямой L с плоскостью ABC.

Мы нашли: