Написать уравнение прямой

Предмет: Геометрия

Раздел: Аналитическая геометрия на плоскости

Задача: написать уравнение прямой.

Пояснения и решения:

Задача состоит из трёх частей.

Часть а):

Дано:

• Прямая образует с осью \( O_x \) угол \( \frac{\pi}{3} \),
• Прямая пересекает ось \( O_y \) в точке \( (0; -6) \).

1. Найдем тангенс угла наклона прямой к оси \( O_x \), так как коэффициент угла наклона \( k \) соответствует тангенсу угла наклона:

   \[ k = \tan\left(\frac{\pi}{3}\right) = \sqrt{3}. \]

2. Уравнение прямой имеет вид:

   \[ y = kx + b, \]

   где \( k \) — угловой коэффициент, а \( b \) — точка пересечения с осью \( O_y \).
3. Из условия, что прямая пересекает ось \( O_y \) в точке \( (0; -6) \), следует, что \( b = -6 \).
4. Таким образом, уравнение прямой:

   \[ y = \sqrt{3}x - 6. \]

Часть б):

Дано:

• Прямая параллельна оси \( O_x \),
• На оси \( O_y \) прямая отсекает отрезок длиной 2.

1. Если прямая параллельна оси \( O_x \), значит её угловой коэффициент \( k = 0 \), что означает, что прямая горизонтальная.
2. Уравнение горизонтальной прямой имеет вид:

   \[ y = b, \]

   где \( b \) — это значение \( y \).
3. Прямая отсекает на оси \( O_y \) отрезок длиной 2, следовательно, \( y = 2 \).
4. Уравнение прямой:

   \[ y = 2. \]

Часть в):

Дано:

• Прямая отсекает отрезки на осях координат длиной 3 и 4 соответственно.

1. Для нахождения уравнения прямой, которая отсекает отрезки на осях, используется каноническая форма уравнения прямой:

   \[ \frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1, \]

   где \( a \) и \( b \) — длины отрезков, которые прямая отсекает на осях \( O_x \) и \( O_y \) соответственно.
2. По условию, прямая отсекает отрезки длиной 3 и 4. То есть:

   \[ \frac{x}{3} + \frac{y}{4} = 1. \]

3. Преобразуем это уравнение:

   \[ 4x + 3y = 12. \]

4. Таким образом, окончательное уравнение прямой:

Ответы:

• а) \( y = \sqrt{3}x - 6 \),
• б) \( y = 2 \),
• в) \( 4x + 3y - 12 = 0 \).

\[ 4x + 3y - 12 = 0. \]