Написать уравнение движения точки, сумма квадратов расстояний от этой точки до двух фиксированных точек является постоянной и равна 50

Данное задание относится к аналитической геометрии, которая является частью предмета геометрия.

Шаг 1. Анализ задания

Мы ищем уравнение движения точки \( M(x; y) \), которая удовлетворяет условию, что сумма квадратов расстояний от этой точки до двух фиксированных точек \( A(-3; 0) \) и \( B(3; 0) \) является постоянной и равна 50.

Шаг 2. Выражение расстояний от точки M до точек A и B

Расстояние между двумя точками \( M(x; y) \) и \( A(-3; 0) \) по формуле расстояния между точками на плоскости можно выразить так: \[ MA = \sqrt{(x - (-3))^2 + (y - 0)^2} = \sqrt{(x + 3)^2 + y^2}. \]

Расстояние между точками \( M(x; y) \) и \( B(3; 0) \): \[ MB = \sqrt{(x - 3)^2 + (y - 0)^2} = \sqrt{(x - 3)^2 + y^2}. \]

Шаг 3. Постановка условия

По условию задачи, сумма квадратов расстояний \( MA \) и \( MB \) должна быть постоянной и равной 50. Это условие можно записать так: \[ (MA)^2 + (MB)^2 = 50. \]

Теперь подставим выражения для \( MA \) и \( MB \): \[ ((x + 3)^2 + y^2) + ((x - 3)^2 + y^2) = 50. \]

Шаг 4. Упрощение выражения

Раскроем скобки: \[ (x + 3)^2 = x^2 + 6x + 9, \] \[ (x - 3)^2 = x^2 - 6x + 9. \]

Подставим эти выражения в уравнение: \[ (x^2 + 6x + 9 + y^2) + (x^2 - 6x + 9 + y^2) = 50. \]

Теперь объединим подобные слагаемые: \[ 2x^2 + 0x + 2y^2 + 18 = 50. \]

Это упрощается до: \[ 2x^2 + 2y^2 + 18 = 50. \]

Шаг 5. Решение уравнения

Выразим уравнение в более простом виде. Для этого вычтем 18 из обеих частей уравнения: \[ 2x^2 + 2y^2 = 32. \]

Теперь разделим обе части на 2: \[ x^2 + y^2 = 16. \]

Шаг 6. Интерпретация результата

Уравнение \( x^2 + y^2 = 16 \) описывает окружность с центром в начале координат (в точке \( (0, 0) \)) и радиусом \( 4 \) (так как \( \sqrt{16} = 4 \)).

Ответ:

Уравнение движения точки \( M(x; y) \) — это уравнение окружности: \[ x^2 + y^2 = 16. \]

Эта окружность имеет радиус 4 и центр в начале координат.