Написать разложение вектора x по векторам a , b , c

Это задание относится к курсу "Аналитическая геометрия" или "Линейная алгебра"

Раздел — разложение вектора по базисным векторам.

Задано:

• Вектор \( \vec{x} = \{-9; -8; -3\} \);
• Векторы \( \vec{a} = \{1; 4; 1\} \), \( \vec{b} = \{-3; 2; 0\} \), \( \vec{c} = \{1; -1; 2\} \).

Задача состоит в том, чтобы разложить вектор \( \vec{x} \) по векторам \( \vec{a}, \vec{b}, \vec{c} \), то есть найти такие коэффициенты \( \alpha, \beta, \gamma \), чтобы выполнялось равенство:

\[ \vec{x} = \alpha \vec{a} + \beta \vec{b} + \gamma \vec{c}. \]

Это означает, что нужно решить следующую систему уравнений:

\[ -9 = \alpha \cdot 1 + \beta \cdot (-3) + \gamma \cdot 1, \]

\[ -8 = \alpha \cdot 4 + \beta \cdot 2 + \gamma \cdot (-1), \]

\[ -3 = \alpha \cdot 1 + \beta \cdot 0 + \gamma \cdot 2. \]

Решение системы уравнений:

1. Из третьего уравнения:

\[ -3 = \alpha \cdot 1 + \gamma \cdot 2. \]

Решаем относительно \( \alpha \):

\[ \alpha = -3 - 2\gamma. \]

2. Подставим \( \alpha = -3 - 2\gamma \) во второе уравнение:

\[ -8 = (-3 - 2\gamma) \cdot 4 + \beta \cdot 2 + \gamma \cdot (-1), \]

\[ -8 = (-12 - 8\gamma) + 2\beta - \gamma, \]

\[ -8 = -12 - 9\gamma + 2\beta. \]

Переносим все на одну сторону:

\[ 4 = -9\gamma + 2\beta, \]

\[ 2\beta = 4 + 9\gamma, \]

\[ \beta = 2 + \frac{9}{2}\gamma. \]

3. Подставим выражения для \( \alpha \) и \( \beta \) в первое уравнение:

\[ -9 = (-3 - 2\gamma) \cdot 1 + (2 + \frac{9}{2}\gamma) \cdot (-3) + \gamma \cdot 1, \]

\[ -9 = -3 - 2\gamma - 6 - \frac{27}{2}\gamma + \gamma, \]

\[ -9 = -9 - \frac{25}{2}\gamma, \]

\[ 0 = -\frac{25}{2}\gamma. \]

Отсюда \( \gamma = 0. \)

4. Теперь, когда \( \gamma = 0 \), подставим это значение в выражения для \( \alpha \) и \( \beta \):

\[ \alpha = -3 - 2\cdot 0 = -3, \]

\[ \beta = 2 + \frac{9}{2}\cdot 0 = 2. \]

Ответ:

\[ \vec{x} = -3\vec{a} + 2\vec{b}. \]

Разложение вектора \( \vec{x} \) по векторам \( \vec{a} \), \( \vec{b} \), \( \vec{c} \) имеет вид: