Написать каноническое уравнение прямой.

Пример 1:

С помощью метода выделения полного квадрата приведите уравнение кривой второго порядка к каноническому виду, постройте кривую, найдите и укажите координаты вершин и фокусов, а также вычислите эксцентриситет кривой.

x² - 9y² – 4x - 77 = 0

Решение от преподавателя:

Приводим квадратичную форму: 
B = x2 - 9y2 
к главным осям, то есть к каноническому виду. Матрица этой квадратичной формы: 

Находим собственные числа и собственные векторы этой матрицы: 
(1 - λ)x1 + 0y1 = 0 
0x1 + (-9 - λ)y1 = 0 
Характеристическое уравнение: 

λ2 +8 λ - 9 = 0 
D=82 - 4*1(-9)=100 


Исходное уравнение определяет гиперболу (λ1 > 0; λ2 < 0) 
Вид квадратичной формы: 
x2-9y2 
(x12-2*2x1 + 22) -1*22 = (x1-2)2-4 
Разделим все выражение на 81 

4. Параметры кривой. 
Данное уравнение определяет гиперболу с центром в точке: 
C(2; 0) 
и полуосями: 

a = 9 (действительная полуость); b = 3 (мнимая полуось) 
Найдем координаты ее фокусов: F1(-c;0) и F2(c;0), где c - половина расстояния между фокусами 
Определим параметр c: c2 = a2 + b2 = 81 + 9 = 90 

Тогда эксцентриситет будет равен: 

Асимптотами гиперболы будут прямые: 


и 

Директрисами гиперболы будут прямые: 

 

Пример 2:

Решение от преподавателя: