Написать канонические уравнения прямой

Это задание относится к предмету математика, а более точно — к разделу аналитической геометрии.

В данном задании вам необходимо:

1. Написать канонические уравнения прямой, которая задана системой уравнений двух плоскостей.
2. Найти координаты точки L, которая является точкой пересечения данной прямой с плоскостью, уравнение которой не дано, но предположительно задано в следующих пунктах задания.

Для начала определим направляющий вектор прямой, который перпендикулярен нормальным векторам данных плоскостей. Для нахождения направляющего вектора, необходимо найти векторное произведение нормальных векторов плоскостей:

• Плоскость 1: x + 6y + 7z + 1 = 0 → нормальный вектор n1 = (1, 6, 7).
• Плоскость 2: 5x + 31y + z + 5 = 0 → нормальный вектор n2 = (5, 31, 1).

Векторное произведение n1 × n2 = |i j k| |1 6 7| |5 31 1|, где i, j, k — единичные векторы осей координат x, y и z соответственно. Раскроем определитель по правилу Саррюса или методом "перекрестов":

n1 × n2 = (6*1 - 7*31)i - (1*1 - 7*5)j + (1*31 - 6*5)k = (-211)i - (-34)j + (1*31 - 30)k = (-211)i + 34j - (-1)k = (-211, 34, 1).

Таким образом, направляющий вектор прямой a = (-211, 34, 1).

Для записи канонического уравнения прямой нам нужна точка, принадлежащая этой прямой. Найти такую точку можно, подобрав конкретные значения x, y, z, которые удовлетворяют обоим уравнениям плоскости. Выразим из одного уравнения z через x и y и подставим во второе. Допустим, положим z = 0, чтобы найти x и y:

1. x + 6y + 1 = 0;
2. 5x + 31y + 5 = 0.

Решим эту систему уравнений методом подстановки или сложения. Например, умножим первое уравнение на 5 и вычтем второе из него:

5(x + 6y + 1) - (5x + 31y + 5) = 0; 5x + 30y + 5 - 5x - 31y - 5 = 0; -y = 0; y = 0.

Теперь подставим y = 0 в первое уравнение, чтобы найти x:

x + 1 = 0; x = -1.

У нас получилась точка принадлежащая обеим плоскостям: P(-1, 0, 0).

Теперь можно записать каноническое уравнение прямой, проходящей через точку P и имеющую направляющий вектор a: (x + 1)/(-211) = y/34 = z/1.

Задание выполнено на половину. Чтобы найти точку L, необходимо знать уравнение плоскости, с которой она пересекается. Это уравнение в задании не дано, поэтому дополнительно уточните задание или предоставьте соответствующее уравнение плоскости для завершения решения второй части задания.