Нахождение уравнения прямой в пространстве, использующем координаты точек

Определение предмета и темы

Задание относится к аналитической геометрии (раздел математики), задача связана с нахождением уравнения прямой в пространстве, использующем координаты точек.

Условие задания 58

Даны три точки в пространстве:

• \( A_1(7; 2; 2) \),
• \( A_2(5; 7; 7) \),
• \( A_3(5; 3; 1) \).

Необходимо найти уравнение прямой, проходящей через точку \( A_3 \), параллельной прямой \( A_1A_2 \).

Решение

1. Найдем направляющий вектор прямой \( A_1A_2 \)

Вектор \( \overrightarrow{A_1A_2} \) находится по формуле:

\[ \overrightarrow{A_1A_2} = (x_2 - x_1; y_2 - y_1; z_2 - z_1). \]

Подставим координаты точек \( A_1(7; 2; 2) \) и \( A_2(5; 7; 7) \):

\[ \overrightarrow{A_1A_2} = (5 - 7; 7 - 2; 7 - 2) = (-2; 5; 5). \]

2. Уравнение прямой через точку \( A_3(5; 3; 1) \) с направлением \( \overrightarrow{A_1A_2} \)

Уравнение прямой в пространстве задается параметрически:

\[ x = x_0 + t \cdot v_x, \]

\[ y = y_0 + t \cdot v_y, \]

\[ z = z_0 + t \cdot v_z, \]

где \( (x_0, y_0, z_0) \) — координаты начальной точки (в нашем случае \( A_3 \)), а \( (v_x; v_y; v_z) \) — координаты направляющего вектора.

Подставим:

• Координаты \( A_3(5; 3; 1) \) в качестве начальной точки.
• Направляющий вектор \( (-2; 5; 5) \).

Получаем уравнение прямой:

\[ x = 5 - 2t, \]

\[ y = 3 + 5t, \]

\[ z = 1 + 5t, \]

где \( t \) — параметр.

Ответ:

Уравнение прямой:

\( x = 5 - 2t, \; y = 3 + 5t, \; z = 1 + 5t, \; t \in \mathbb{R}. \)