Нахождение уравнений прямых и плоскостей, а также с вычислением углов между ними

Данный листок с заданиями относится к предмету аналитическая геометрия, раздел прямые и плоскости в пространстве. Задания связаны с нахождением уравнений прямых и плоскостей, а также с вычислением углов между ними.

Задание 2:

Написать канонические уравнения прямой, проходящей через точку \( M(-5; 1; 0) \) с направляющим вектором \( \mathbf{a} = (-3; 0; -1) \).

Решение:

Каноническое уравнение прямой используется для описания прямой в пространстве и имеет вид:

\[ \frac{x - x_0}{l} = \frac{y - y_0}{m} = \frac{z - z_0}{n}, \]

где \( (x_0, y_0, z_0) \) — координаты точки, через которую проходит прямая, а \( l, m, n \) — координаты направляющего вектора \(\mathbf{a} = (l, m, n)\).

Дана точка \( M(-5; 1; 0) \), следовательно, \( x_0 = -5, y_0 = 1, z_0 = 0 \). Направляющий вектор \( \mathbf{a} = (-3; 0; -1) \), значит, \( l = -3, m = 0, n = -1 \).

Теперь подставим эти значения в уравнение прямой:

\[ \frac{x + 5}{-3} = \frac{y - 1}{0} = \frac{z - 0}{-1}. \]

Среднее отношение \( \frac{y - 1}{0} \) не определено, что указывает на то, что \( y \) всегда равно 1. Таким образом, уравнение прямой можно записать в виде:

\[ \frac{x + 5}{-3} = \frac{z}{-1}, \quad y = 1. \]

Задание 7:

Найти угол между прямой \( \frac{x + 4}{-2} = \frac{y}{0} = \frac{z + 1}{2} \) и осью \( OX \).

Решение:

Записанная прямая в каноническом виде:

\[ \frac{x + 4}{-2} = \frac{y}{0} = \frac{z + 1}{2}. \]

Среднее отношение \( \frac{y}{0} \) указывает на то, что \( y = 0 \), то есть прямая лежит в плоскости \( zOx \). Направляющий вектор данной прямой можно определить по числителям дробей, то есть у вектора будут координаты \( (-2; 0; 2) \).

Теперь найдем угол между направляющим вектором прямой \( \mathbf{b} = (-2; 0; 2) \) и осью \( OX \). Направляющий вектор оси \( OX \) имеет вид \( \mathbf{i} = (1; 0; 0) \).

Угол между двумя векторами можно найти по формуле:

\[ \cos \theta = \frac{\mathbf{b} \cdot \mathbf{i}}{|\mathbf{b}| |\mathbf{i}|}, \]

где \( \mathbf{b} \cdot \mathbf{i} \) — скалярное произведение векторов, а \( |\mathbf{b}| \) и \( |\mathbf{i}| \) — их длины.

1. Скалярное произведение: \[ \mathbf{b} \cdot \mathbf{i} = -2 \cdot 1 + 0 \cdot 0 + 2 \cdot 0 = -2. \]
2. Найдем длину вектора \( \mathbf{b} \): \[ |\mathbf{b}| = \sqrt{(-2)^2 + 0^2 + 2^2} = \sqrt{4 + 0 + 4} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}. \]
3. Длина вектора \( \mathbf{i} = 1 \).

Теперь подставим в формулу:

\[ \cos \theta = \frac{-2}{2\sqrt{2} \cdot 1} = \frac{-2}{2\sqrt{2}} = \frac{-1}{\sqrt{2}}. \]

Следовательно, угол \( \theta = 135^\circ \), так как:

\[ \theta = \cos^{-1} \left( \frac{-1}{\sqrt{2}} \right) = 135^\circ. \]

Таким образом, угол между данной прямой и осью \( OX \) равен \( 135^\circ \).

Если есть дополнительные вопросы, обращайтесь!