Нахождение угла между векторами

Давайте решим данное задание!

Предмет: Математика.
Раздел: Аналитическая геометрия.

Итак, задача состоит в нахождении угла между векторами \( \overrightarrow{AB} \) и \( \overrightarrow{AC} \). Мы будем использовать формулу для вычисления косинуса угла между векторами.

Шаг 1: Найти координаты векторов \( \overrightarrow{AB} \) и \( \overrightarrow{AC} \):

Вектор \( \overrightarrow{AB} \) определяется как разность координат точки \( B \) и точки \( A \):

\[ \overrightarrow{AB} = B - A = (5 - (-7); 0 - 1) = (5 + 7; -1) = (12; -1). \]

Вектор \( \overrightarrow{AC} \) определяется как разность координат точки \( C \) и точки \( A \):

\[ \overrightarrow{AC} = C - A = (2 - (-7); 5 - 1) = (2 + 7; 4) = (9; 4). \]

Шаг 2: Вспомним формулу для нахождения косинуса угла между векторами:

\[ \cos\theta = \frac{\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC}}{|\overrightarrow{AB}| \cdot |\overrightarrow{AC}|}, \]

где:

• \( \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} \) — скалярное произведение векторов;
• \( |\overrightarrow{AB}| \) — длина вектора \( \overrightarrow{AB} \);
• \( |\overrightarrow{AC}| \) — длина вектора \( \overrightarrow{AC} \).

Шаг 3: Вычислить скалярное произведение \( \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} \):

Скалярное произведение векторов вычисляется по формуле:

\[ \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = x_1 \cdot x_2 + y_1 \cdot y_2, \]

где \( x_1, y_1 \) — координаты вектора \( \overrightarrow{AB} \), а \( x_2, y_2 \) — координаты вектора \( \overrightarrow{AC} \).

В нашем случае:

\[ \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = (12)(9) + (-1)(4) = 108 - 4 = 104. \]

Шаг 4: Вычислить длины векторов \( |\overrightarrow{AB}| \) и \( |\overrightarrow{AC}| \):

Длина вектора вычисляется по формуле:

\[ |\overrightarrow{u}| = \sqrt{x^2 + y^2}, \]

где \( x, y \) — координаты вектора.

Для вектора \( \overrightarrow{AB} \):

\[ |\overrightarrow{AB}| = \sqrt{12^2 + (-1)^2} = \sqrt{144 + 1} = \sqrt{145}. \]

Для вектора \( \overrightarrow{AC} \):

\[ |\overrightarrow{AC}| = \sqrt{9^2 + 4^2} = \sqrt{81 + 16} = \sqrt{97}. \]

Шаг 5: Найти \( \cos\theta \):

Теперь подставим значения в формулу для косинуса:

\[ \cos\theta = \frac{\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC}}{|\overrightarrow{AB}| \cdot |\overrightarrow{AC}|}. \]

Подставляем:

\[ \cos\theta = \frac{104}{\sqrt{145} \cdot \sqrt{97}} = \frac{104}{\sqrt{145 \cdot 97}} = \frac{104}{\sqrt{14065}}. \]

Шаг 6: Найти угол \( \theta \):

Чтобы найти угол \( \theta \), нужно взять арккосинус от найденного значения:

\[ \theta = \arccos\left(\frac{104}{\sqrt{14065}}\right). \]

Если нужно получить конкретный числовой результат, то используем приближенные вычисления:

• \( \sqrt{14065} \approx 118.63 \);
• \( \frac{104}{118.63} \approx 0.8766 \).

Теперь:

\[ \theta \approx \arccos(0.8766). \]

Используя калькулятор:

Ответ: Угол между векторами \( \overrightarrow{AB} \) и \( \overrightarrow{AC} \) равен примерно \( 28.58^\circ \).

\[ \theta \approx 28.58^\circ. \]