Нахождение угла между прямой и плоскостью

1. Определение предмета и раздела предмета:

Заданное задание относится к курсу аналитической геометрии, который является частью предмета математика (высшая математика). Задача заключается в нахождении угла между прямой и плоскостью, что является темой раздела "взаимное расположение прямой и плоскости в пространстве".

2. Пояснение задачи:

Для нахождения угла между прямой и плоскостью используется следующий геометрический факт: \[ \cos \theta = \frac{|\vec{n} \cdot \vec{d}|}{|\vec{n}| |\vec{d}|} \]

Где:

• \(\theta\) — угол между прямой и плоскостью.
• \(\vec{n}\) — нормальный вектор плоскости.
• \(\vec{d}\) — направляющий вектор прямой.

Наша задача — вычислить угол по этой формуле. Для решения необходимо найти:

1. Направляющий вектор прямой.
2. Нормальный вектор плоскости.
3. Скалярное произведение этих векторов.
4. Модули этих векторов.

3. Шаги решения:

Шаг 1: Определение направляющего вектора прямой

Прямая задана в параметрическом виде: \[ \frac{x-8}{-2} = \frac{y-7}{-2} = \frac{z-9}{4} \]

Для нахождения направляющего вектора достаточно взять коэффициенты в параметрических уравнениях для каждой переменной. В данном случае направляющий вектор прямой будет: \[ \vec{d} = (-2, -2, 4) \]

Шаг 2: Определение нормального вектора плоскости

Уравнение плоскости имеет вид: \[ 6x - 3y - 3z + 1 = 0 \]

Нормальный вектор плоскости — это вектор, составленный из коэффициентов при \(x\), \(y\) и \(z\): \[ \vec{n} = (6, -3, -3) \]

Шаг 3: Взятие скалярного произведения векторов

Скалярное произведение векторов \(\vec{n}\) и \(\vec{d}\) можно найти по формуле: \[ \vec{n} \cdot \vec{d} = n_x \cdot d_x + n_y \cdot d_y + n_z \cdot d_z \]

Подставляем компоненты векторов: \[ (6, -3, -3) \cdot (-2, -2, 4) = 6 \cdot (-2) + (-3) \cdot (-2) + (-3) \cdot 4 \]

Считаем значение: \[ 6 \cdot (-2) = -12 \\ -3 \cdot (-2) = 6 \\ -3 \cdot 4 = -12 \]

Итоговое скалярное произведение: \[ \vec{n} \cdot \vec{d} = -12 + 6 - 12 = -18 \]

Шаг 4: Нахождение модулей векторов

Теперь найдем модули векторов \(\vec{n}\) и \(\vec{d}\).

Модуль вектора \(\vec{n}\): \[ |\vec{n}| = \sqrt{6^2 + (-3)^2 + (-3)^2} = \sqrt{36 + 9 + 9} = \sqrt{54} = 3\sqrt{6} \]

Модуль вектора \(\vec{d}\): \[ |\vec{d}| = \sqrt{(-2)^2 + (-2)^2 + 4^2} = \sqrt{4 + 4 + 16} = \sqrt{24} = 2\sqrt{6} \]

Шаг 5: Нахождение косинуса угла

Подставляем значения в формулу для косинуса угла: \[ \cos \theta = \frac{| \vec{n} \cdot \vec{d} |}{|\vec{n}| \cdot |\vec{d}|} = \frac{|-18|}{3\sqrt{6} \cdot 2\sqrt{6}}\ = \frac{18}{6 \cdot 6} = \frac{18}{36} = 0.5 \]

Итак, \[ \cos \theta = 0.5 \]

Шаг 6: Нахождение угла

Теперь найдём значение угла: \[ \theta = \arccos(0.5) = 60^\circ \]

Ответ:

Угол между прямой и плоскостью равен \(60^\circ\).