Нахождение угла между двумя плоскостями, заданными уравнениями

Предмет: Аналитическая геометрия
Раздел: Угол между плоскостями

Для нахождения угла между двумя плоскостями, заданными уравнениями, используем формулу:

\cos\theta = \frac{|A_1A_2 + B_1B_2 + C_1C_2|}{\sqrt{A_1^2 + B_1^2 + C_1^2} \cdot \sqrt{A_2^2 + B_2^2 + C_2^2}},

где A_1, B_1, C_1 и A_2, B_2, C_2 — коэффициенты при x, y, z в уравнениях плоскостей.

Дано:

1. Первая плоскость: x - 2y + 2z - 8 = 0
   Коэффициенты: A_1 = 1, B_1 = -2, C_1 = 2.
2. Вторая плоскость: x + z - 6 = 0
   Коэффициенты: A_2 = 1, B_2 = 0, C_2 = 1.

Шаг 1: Подставим коэффициенты в формулу для косинуса угла:

\cos\theta = \frac{|1 \cdot 1 + (-2) \cdot 0 + 2 \cdot 1|}{\sqrt{1^2 + (-2)^2 + 2^2} \cdot \sqrt{1^2 + 0^2 + 1^2}}.

Шаг 2: Вычислим числитель:

|1 \cdot 1 + (-2) \cdot 0 + 2 \cdot 1| = |1 + 0 + 2| = |3| = 3.

Шаг 3: Вычислим знаменатель:

1. Для первой плоскости:
   \sqrt{1^2 + (-2)^2 + 2^2} = \sqrt{1 + 4 + 4} = \sqrt{9} = 3.
2. Для второй плоскости:
   \sqrt{1^2 + 0^2 + 1^2} = \sqrt{1 + 0 + 1} = \sqrt{2}.

Итак, знаменатель:
3 \cdot \sqrt{2}.

Шаг 4: Найдем косинус угла:

\cos\theta = \frac{3}{3 \cdot \sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}.

Шаг 5: Найдем угол:

\theta = \arccos\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right) = 45^\circ.

Ответ: 45^\circ.