Нахождение расстояния от точки до плоскости

Предмет и раздел:

Задание относится к математике, раздел аналитическая геометрия, тема — нахождение расстояния от точки до плоскости.

Подход к решению:

Для нахождения расстояния от точки \( M(1, 2, 3) \) до плоскости, проходящей через три точки \( A_1(1, -6, 6) \), \( A_2(-2, 8, 2) \), \( A_3(6, 8, 9) \):

1. Найти уравнение плоскости, проходящей через три заданные точки \( A_1, A_2, A_3 \):
   • Для этого нужно найти нормальный вектор плоскости, который можно получить как векторное произведение векторов \( \vec{A_1A_2} \) и \( \vec{A_1A_3} \).
   • Затем, подставив одну из точек \( A_1, A_2 \) или \( A_3 \) в уравнение плоскости, найдем его уравнение.
2. Использовать формулу расстояния от точки до плоскости:

   Если плоскость имеет уравнение \( Ax + By + Cz + D = 0 \), то расстояние от точки \( M(x_0, y_0, z_0) \) до этой плоскости задается формулой:

   \[ d = \frac{|Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}} \]

Шаг 1. Найти два вектора плоскости:

Выразим вектора \( \vec{A_1A_2} \) и \( \vec{A_1A_3} \):

\[ \vec{A_1A_2} = A_2 - A_1 = (-2 - 1, 8 - (-6), 2 - 6) = (-3, 14, -4) \]

\[ \vec{A_1A_3} = A_3 - A_1 = (6 - 1, 8 - (-6), 9 - 6) = (5, 14, 3) \]

Шаг 2. Найти векторное произведение \( \vec{A_1A_2} \times \vec{A_1A_3} \):

Формула для векторного произведения:

\[ \vec{a} \times \vec{b} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ a_1 & a_2 & a_3 \\ b_1 & b_2 & b_3 \\ \end{vmatrix} \]

Подставим координаты векторов:

\[ \vec{A_1A_2} = (-3, 14, -4), \quad \vec{A_1A_3} = (5, 14, 3) \]

\[ \vec{n} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ -3 & 14 & -4 \\ 5 & 14 & 3 \end{vmatrix} = \mathbf{i} \cdot \begin{vmatrix} 14 & -4 \\ 14 & 3 \end{vmatrix} - \mathbf{j} \cdot \begin{vmatrix} -3 & -4 \\ 5 & 3 \end{vmatrix} + \mathbf{k} \cdot \begin{vmatrix} -3 & 14 \\ 5 & 14 \end{vmatrix} \]

Выполним вычисления для каждого минора:

1. Для \( \mathbf{i}: \)

   \[ \begin{vmatrix} 14 & -4 \\ 14 & 3 \end{vmatrix} = (14 \cdot 3 - (-4) \cdot 14) = (42 + 56) = 98 \]

2. Для \( \mathbf{j}: \)

   \[ \begin{vmatrix} -3 & -4 \\ 5 & 3 \end{vmatrix} = (-3 \cdot 3 - (-4) \cdot 5) = (-9 + 20) = 11 \]

3. Для \( \mathbf{k}: \)

   \[ \begin{vmatrix} -3 & 14 \\ 5 & 14 \end{vmatrix} = (-3 \cdot 14 - 5 \cdot 14) = (-42 - 70) = -112 \]

Подставляем:

\[ \vec{n} = \mathbf{i} \cdot 98 - \mathbf{j} \cdot 11 + \mathbf{k} \cdot (-112) \]

\[ \vec{n} = (98, -11, -112) \]

Шаг 3. Уравнение плоскости:

Общее уравнение плоскости: \( Ax + By + Cz + D = 0 \), где \( \vec{n} = (A, B, C) \).

У нас \( A = 98 \), \( B = -11 \), \( C = -112 \).

Подставим точку \( A_1(1, -6, 6) \) в уравнение:

\[ 98 \cdot 1 - 11 \cdot (-6) - 112 \cdot 6 + D = 0 \]

\[ 98 + 66 - 672 + D = 0 \]

\[ D = 508 \]

Итак, уравнение плоскости:

\[ 98x - 11y - 112z + 508 = 0 \]

Шаг 4. Найти расстояние от точки \( M(1, 2, 3) \) до плоскости:

Используем формулу расстояния:

\[ d = \frac{|Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}} \]

У нас \( A = 98 \), \( B = -11 \), \( C = -112 \), \( D = 508 \), \( M(1, 2, 3) \).

Подставим:

\[ d = \frac{|98 \cdot 1 - 11 \cdot 2 - 112 \cdot 3 + 508|}{\sqrt{98^2 + (-11)^2 + (-112)^2}} \]

Сначала числитель:

\[ 98 - 22 - 336 + 508 = 248 \]

Теперь знаменатель:

\[ \sqrt{98^2 + (-11)^2 + (-112)^2} = \sqrt{9604 + 121 + 12544} = \sqrt{22269} \]

То есть:

\[ d = \frac{248}{\sqrt{22269}} \]

Приблизительно (округлим):

\[ \sqrt{22269} \approx 149.23 \]

\[ d \approx \frac{248}{149.23} \approx 1.66 \]

Ответ:

Расстояние от точки \( M(1, 2, 3) \) до плоскости составляет приблизительно \( \boxed{1.66} \) единиц.