Нахождение областей пересечения

Данное задание относится к математике, а именно к разделу аналитической геометрии и интегрального исчисления.

Шаг 1: Определим точки пересечения двух кривых

Нам даны две функции:

1. \( y_1 = x^2 - 5x - 4 \)
2. \( y_2 = 5x + 8 - x^2 \)

Для нахождения областей пересечения, приравняем данные функции:

\[ x^2 - 5x - 4 = 5x + 8 - x^2 \]

Приведем уравнение к стандартному виду:

\[ x^2 - 5x - 4 + x^2 - 5x - 8 = 0 \]

\[ 2x^2 - 10x - 12 = 0 \]

Разделим уравнение на 2, чтобы упростить его:

\[ x^2 - 5x - 6 = 0 \]

Решим данное квадратное уравнение через дискриминант:

\[ D = (-5)^2 - 4 \times 1 \times (-6) = 25 + 24 = 49 \]

Корни уравнения:

\[ x = \frac{-(-5) \pm \sqrt{49}}{2 \times 1} = \frac{5 \pm 7}{2} \]

Получаем:

\[ x_1 = \frac{5 + 7}{2} = 6, \quad x_2 = \frac{5 - 7}{2} = -1 \]

Значит, точки пересечения графиков — это \( x = -1 \) и \( x = 6 \).

Шаг 2: Запишем выражение для площади

Площадь между графиками двух функций \( y_1(x) \) и \( y_2(x) \) на отрезке \([a, b]\) можно вычислить как:

\[ S = \int_{a}^{b} |y_2(x) - y_1(x)| \, dx \]

Для того чтобы найти точный результат, определим порядок вычитания на промежутке от \( x = -1 \) до \( x = 6 \).

Найдем значения функций в какой-либо точке, например, в \( x = 0 \):

1. \( y_1(0) = (0)^2 - 5(0) - 4 = -4 \)
2. \( y_2(0) = 5(0) + 8 - (0)^2 = 8 \)

Поскольку \( y_2(x) > y_1(x) \), можем определить общий знак:

\[ S = \int_{-1}^{6} \left[ (5x + 8 - x^2) - (x^2 - 5x - 4) \right] dx \]

Упростим подынтегральное выражение:

\[ S = \int_{-1}^{6} \left( 5x + 8 - x^2 - x^2 + 5x + 4 \right) dx = \int_{-1}^{6} \left( 10x + 12 - 2x^2 \right) dx \]

Шаг 3: Вычислим интеграл

Найдём первообразную для функции \( 10x + 12 - 2x^2 \):

• \( \int 10x \, dx = 5x^2 \)
• \( \int 12 \, dx = 12x \)
• \( \int -2x^2 \, dx = \frac{-2x^3}{3} \)

Теперь запишем полную первообразную:

\[ F(x) = 5x^2 + 12x - \frac{2x^3}{3} \]

Вычислим значение первообразной на границах:

1. \( F(6) = 5(6)^2 + 12(6) - \frac{2(6)^3}{3} = 5(36) + 72 - \frac{2(216)}{3} = 180 + 72 - 144 = 108 \)
2. \( F(-1) = 5(-1)^2 + 12(-1) - \frac{2(-1)^3}{3} = 5(1) - 12 - \frac{-2}{3} = 5 - 12 + \frac{2}{3} = -7 + \frac{2}{3} = -\frac{19}{3} \)

Теперь находим разность:

\[ S = F(6) - F(-1) = 108 - \left( -\frac{19}{3} \right) = 108 + \frac{19}{3} = \frac{324}{3} + \frac{19}{3} = \frac{343}{3} \]

Ответ: площадь равна \( \frac{343}{3} \), или примерно \( 114.33 \).