На прямой 3х+4у+20=0 найдите точку равноудаленную от точек А (-8;-3) и В (-5;-6)

Предмет: Геометрия

Раздел предмета: Аналитическая геометрия на плоскости

Шаг 1. Найдем середину отрезка AB.

Точка, которая равноудалена от точек \(A(-8, -3)\) и \(B(-5, -6)\), лежит на серединном перпендикуляре этого отрезка. Начнем с поиска середины отрезка AB, так как она также является частью этого перпендикуляра.

Координаты середины отрезка можно найти по формуле: \[ M\left( \frac{x_A + x_B}{2}, \frac{y_A + y_B}{2} \right) \]

Подставим координаты точек \(A(-8, -3)\) и \(B(-5, -6)\): \[ M\left( \frac{-8 + (-5)}{2}, \frac{-3 + (-6)}{2} \right) = M\left( \frac{-13}{2}, \frac{-9}{2} \right) \]

Таким образом, середина отрезка AB имеет координаты \(M\left( -\frac{13}{2}, -\frac{9}{2} \right)\).

Шаг 2. Найдем уравнение серединного перпендикуляра отрезка AB.

Теперь нужно найти уравнение прямой, которая является серединным перпендикуляром отрезка AB. Для этого используем следующие факты:

1. Серединный перпендикуляр проходит через точку \(M\left( -\frac{13}{2}, -\frac{9}{2} \right)\).
2. Эта прямая перпендикулярна отрезку AB, а значит, ее угловой коэффициент будет взаимно обратен и с противоположным знаком относительно углового коэффициента между точками \(A(-8, -3)\) и \(B(-5, -6)\).

Найдем угловой коэффициент \(k_{AB}\) прямой, проходящей через точки \(A\) и \(B\): \[ k_{AB} = \frac{y_B - y_A}{x_B - x_A} = \frac{-6 - (-3)}{-5 - (-8)} = \frac{-6 + 3}{-5 + 8} = \frac{-3}{3} = -1 \]

Значит, угловой коэффициент \(k_{\text{перп}}\) перпендикуляра к отрезку AB равен: \[ k_{\text{перп}} = \frac{1}{k_{AB}} = 1 \]

Теперь запишем уравнение серединного перпендикуляра в виде: \[ y - y_M = k_{\text{перп}}(x - x_M) \]

Подставляем координаты точки \(M\left( -\frac{13}{2}, -\frac{9}{2} \right)\) и \(k_{\text{перп}} = 1\): \[ y - \left(-\frac{9}{2}\right) = 1 \cdot \left( x - \left(-\frac{13}{2} \right) \right) \] \[ y + \frac{9}{2} = x + \frac{13}{2} \]

Переносим всё в одну сторону: \[ y - x = \frac{13}{2} - \frac{9}{2} = \frac{4}{2} = 2 \]

Получаем уравнение серединного перпендикуляра: \[ y - x = 2 \]

Шаг 3. Найдем точку пересечения серединного перпендикуляра с прямой \(3x + 4y + 20 = 0\).

Нам нужно найти точку пересечения уравнения серединного перпендикуляра \(y - x = 2\) и прямой \(3x + 4y + 20 = 0\). Подставим \(y = x + 2\) (из преобразованного уравнения серединного перпендикуляра) в уравнение прямой.

Подставляем \(y = x + 2\) в уравнение прямой: \[ 3x + 4(x + 2) + 20 = 0 \]

Раскроем скобки: \[ 3x + 4x + 8 + 20 = 0 \]

Сложим: \[ 7x + 28 = 0 \]

Найдем \(x\): \[ 7x = -28 \quad \Rightarrow \quad x = -4 \]

Теперь найдем \(y\), подставив \(x = -4\) в уравнение \(y = x + 2\): \[ y = -4 + 2 = -2 \]

Ответ:

Точка пересечения имеет координаты \((-4, -2)\). Это и есть точка на прямой \(3x + 4y + 20 = 0\), которая равноудалена от точек \(A(-8, -3)\) и \(B(-5, -6)\).