Может ли быть точка возврата 2-го рода у кривой Безье 3-го порядка?

Предмет: Математика
Раздел: Аналитическая геометрия и теория кривых

Кривая Безье 3-го порядка (кубическая кривая Безье) определяется четырьмя контрольными точками [P_0, P_1, P_2, P_3]. Ее уравнение задается следующим образом:

 B(t) = (1-t)^3 P_0 + 3(1-t)^2 t P_1 + 3(1-t)t^2 P_2 + t^3 P_3, \, t \in [0, 1]. 

Точка возврата 2-го рода — это точка на кривой, где вектор скорости (первая производная) равен нулю, то есть [\frac{dB(t)}{dt} = 0], но при этом вектор ускорения (вторая производная) не равен нулю, то есть [\frac{d^2B(t)}{dt^2} \neq 0].

Проверим, может ли такая точка существовать для кривой Безье 3-го порядка.

1. Первая производная кривой Безье: Вычислим производную [\frac{dB(t)}{dt}]:  \frac{dB(t)}{dt} = 3(1-t)^2 (P_1 - P_0) + 6(1-t)t (P_2 - P_1) + 3t^2 (P_3 - P_2). 

   Это выражение представляет собой вектор скорости. Для точки возврата 2-го рода требуется, чтобы этот вектор равнялся нулю:  3(1-t)^2 (P_1 - P_0) + 6(1-t)t (P_2 - P_1) + 3t^2 (P_3 - P_2) = 0. 

   Это система векторных уравнений, которая должна быть решена относительно параметра [t].

2. Вторая производная кривой Безье: Вычислим вторую производную [\frac{d^2B(t)}{dt^2}]:  \frac{d^2B(t)}{dt^2} = 6(1-t)(P_2 - 2P_1 + P_0) + 6t(P_3 - 2P_2 + P_1). 

   Для точки возврата 2-го рода требуется, чтобы вторая производная была ненулевой в той же точке [t], где первая производная равна нулю.

3. Анализ возможности существования точки возврата 2-го рода:

   • Первая производная [\frac{dB(t)}{dt}] — это квадратичное уравнение относительно [t]. Оно может иметь 0, 1 или 2 корня в зависимости от расположения контрольных точек.
   • Если вектор скорости равен нулю (то есть [\frac{dB(t)}{dt} = 0]), то необходимо проверить вторую производную [\frac{d^2B(t)}{dt^2}] на ненулевое значение в этой точке.

Однако, для кривой Безье 3-го порядка (кубической), точки возврата 2-го рода не могут существовать. Это связано с тем, что вектор скорости (первая производная) и вектор ускорения (вторая производная) не могут быть линейно независимыми в точке, где первая производная равна нулю. Таким образом, если первая производная обнуляется, то вторая производная также обнуляется, что исключает возможность точки возврата 2-го рода.

Ответ:

Нет, точка возврата 2-го рода не может существовать у кривой Безье 3-го порядка.