Каноническое уравнение эллипса

Предмет: Математика
Раздел: Аналитическая геометрия

Рассмотрим каноническое уравнение эллипса. Эллипс — это множество точек на плоскости, сумма расстояний от которых до двух фиксированных точек (фокусов) постоянна.

Каноническое уравнение эллипса

Если эллипс расположен с центром в начале координат, и его главные оси совпадают с осями координат, то каноническое уравнение эллипса имеет вид:

• Если большая ось лежит вдоль оси Ox: \[\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1\], где [a > b > 0]

• Если большая ось лежит вдоль оси Oy: \[\frac{x^2}{b^2} + \frac{y^2}{a^2} = 1\], где [a > b > 0]

Здесь:

• [a] — длина полуоси вдоль оси, вдоль которой вытянут эллипс (большая полуось),
• [b] — длина полуоси вдоль другой координатной оси (малая полуось),
• Центр эллипса находится в начале координат [(0, 0)].

Если центр эллипса находится в точке [(x_0, y_0)], то уравнение принимает вид: \[\frac{(x - x_0)^2}{a^2} + \frac{(y - y_0)^2}{b^2} = 1\]

Связь с фокусами

Расстояние от центра до фокусов (фокусное расстояние) вычисляется по формуле: \[c = \sqrt{a^2 - b^2}\]

Координаты фокусов при центрировании в начале координат:

• Если большая ось вдоль Ox: [F_1 = (-c, 0),\quad F_2 = (c, 0)]
• Если вдоль Oy: [F_1 = (0, -c),\quad F_2 = (0, c)]

Если у тебя есть конкретное значение параметров или задача на построение эллипса — можешь предоставить, и я помогу решить.