Исследовать функцию на монотонность и экстремумы калькулятор y=(x^2-1)/(x^2+1)

Данное задание относится к предмету "Математика", разделу "Анализ функций". Мы будем исследовать функцию \( y = \frac{x^2 - 1}{x^2 + 1} \) на монотонность и экстремумы.

Шаг 1: Найдите производную функции

Чтобы исследовать функцию на монотонность и найти экстремумы, нам необходимо найти первую производную функции \( y = \frac{x^2 - 1}{x^2 + 1} \). Используем правило производной частного:

\[ \left( \frac{u}{v} \right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2} \]

В нашем случае:

\[ u = x^2 - 1 \]

\[ v = x^2 + 1 \]

Теперь найдем производные \( u \) и \( v \):

\[ u' = 2x \]

\[ v' = 2x \]

Подставим эти значения в формулу производной частного:

\[ y' = \frac{(2x)(x^2 + 1) - (x^2 - 1)(2x)}{(x^2 + 1)^2} \]

Раскрываем скобки:

\[ y' = \frac{2x(x^2 + 1) - 2x(x^2 - 1)}{(x^2 + 1)^2} \]

\[ y' = \frac{2x^3 + 2x - 2x^3 + 2x}{(x^2 + 1)^2} \]

Сокращаем подобные члены:

\[ y' = \frac{2x + 2x}{(x^2 + 1)^2} \]

\[ y' = \frac{4x}{(x^2 + 1)^2} \]

Шаг 2: Найдите критические точки

Критические точки — это значения \( x \), при которых производная равна нулю или не существует. Найдём, где производная равна нулю:

\[ \frac{4x}{(x^2 + 1)^2} = 0 \]

Числитель равен нулю:

\[ 4x = 0 \]

\[ x = 0 \]

При любом \( x \), знаменатель \((x^2 + 1)^2\) положителен. Значит, производная не существует нигде, кроме как в особенностях, которых нет, поскольку знаменатель не может быть равен нулю.

Шаг 3: Определите интервалы монотонности

Проанализируем знаки первой производной на интервалах:

1. \( x < 0 \)
2. \( x > 0 \)

Для упрощения возьмём тестовые точки, скажем:

\( x = -1 \): \[ y' = \frac{4(-1)}{((-1)^2 + 1)^2} = \frac{-4}{2^2} = -1 \]

\( x = 1 \): \[ y' = \frac{4(1)}{(1^2 + 1)^2} = \frac{4}{2^2} = 1 \]

Таким образом, на интервале \( x < 0 \), производная отрицательна (\( y' < 0 \)), что указывает на убывание функции. На интервале \( x > 0 \), производная положительна (\( y' > 0 \)), что указывает на возрастание функции.

Шаг 4: Найдите экстремумы

Мы видим, что производная меняет знак в точке \( x = 0 \):

• При переходе через \( x = 0 \) с левой стороны функция убывает (значение производной отрицательно).
• При переходе через \( x = 0 \) с правой стороны функция возрастает (значение производной положительно).

Следовательно, \( x = 0 \) является точкой минимума.

Шаг 5: Значение функции в точке экстремума

Подставим \( x = 0 \) в исходную функцию \( y \):

\[ y(0) = \frac{0^2 - 1}{0^2 + 1} = \frac{-1}{1} = -1 \]

Итог

• Точка минимума: \( x = 0 \), \( y = -1 \)
• Функция убывает на интервале \((-infty, 0)\) и возрастает на интервале \((0, infty)\)

Таким образом, мы исследовали функцию \( y = \frac{x^2 - 1}{x^2 + 1} \) на монотонность и экстремумы.