Гипербола, парабола, эллипс.

Пример 1:

Составить уравнение прямой, проходящей через левый фокус эллипса x²+ y²- 5= 0 и точку M (3; 5).

Решение от преподавателя:

Пример 2:

Решение от преподавателя:

1. Дано уравнение кривой: 
   x² - 10y = 0 
   
   

Получили уравнение параболы: 
(x - x₀)² = 2p(y - y₀) 
x² = 2*5(y - 0) 
Ветви параболы направлены вверх (p>0), вершина расположена в точке (x₀, y₀), т.е. в точке (0;0) 
Параметр p = 5 
Координаты фокуса: 
Уравнение директрисы: y = y₀ - p/2 
y = 0 - ⁵/₂ = ^-5/₂ 

1. Дано уравнение кривой: 
   9x² + 4y² - 36 = 0 
   
   

Разделим все выражение на 36 

Полуоси эллипса: 
a = 3;b = 2 
Данное уравнение определяет эллипс с центром в точке: 
C(0; 0) 
Найдем координаты фокусов F₁(-c;0) и F₂(c;0), где c - половина расстояния между фокусами 

Итак, фокусы эллипса: 

Тогда эксцентриситет будет равен: 

Вследствие неравенства c < a эксцентриситет эллипса меньше 1. 

Пример 3:

Привести уравнения кривых к каноническому виду. Найти эксцентриситет, координаты фокусов, уравнения директрис и асимптот (если есть). Сделать чертеж.
16x² - 9y² - 144= 0.

Решение от преподавателя:

Пример 4:

Напишите уравнение параболы с вершиной в точке О (0; 0) симметричной относительно оси Oy и проходящей через точку А(-2; 2).

Решение от преподавателя:

Общая формула параболы - y=k(x+n)²+m
Так как вершина в начале координат, то сдвига по осям нет, а значит
n=0, m=0
Приходим к формуле 
y=kx²
Подставив координаты точки А, найдем k
2=k*(-2)²
k = 0.5
Получим формулу:
y=0.5x²

Пример 5:

Привести уравнения кривых к каноническому виду. Найти эксцентриситет, координаты фокусов, уравнения директрис и асимптот (если есть). Сделать чертеж.
x² - 4y + 2x - 7 = 0.

Решение от преподавателя:

Выделяем полные квадраты:

(x²+2*x + 1) -1*1 =4y+7

Преобразуем исходное уравнение:

(x₁+1)² = 4y + 8

Получили уравнение параболы:

(x - x₀)² = 2p(y - y₀)

(x₁+1)² = 2*2(y - (-2))

Ветви параболы направлены вверх (p>0), вершина расположена в точке (x₀, y₀), т.е. в точке (-1; -2)

Параметр p = 2

Координаты фокуса:

F(x₀;p/2) =F (-1; -2/2)

Уравнение директрисы: y = y₀ - p/2

y = -2 - 1 = -3.

Пример 6:

Составить уравнение кривой, разность расстояний от каждой точки которой до точек А(-1;0) и В(7;0) равна 2.

Решение от преподавателя:

Пример 7:

Определить, какую кривую второго порядка (или её часть) задает уравнение, изобразить ее на чертеже:

Решение от преподавателя:

Пример 8:

Составьте уравнение эллипса с фокусами на оси OX, если расстояние между фокусами равно 20, а эксцентриситет

Решение от преподавателя:

Пример 9:

Дана гипербола . Найдите вершины, фокусы, эксцентриситет, асимптоты этой гиперболы.

Решение от преподавателя:

Пример 10:

Парабола задана уравнением y = 14x. Указать координаты фокуса параболы и уравнение её директрисы.

Решение от преподавателя:

Пример 11:

Составить уравнение эллипса с фокусами на оси ОХ, если расстояние мехжу его  фокусами равно 16, а эксцентриситет равен 1/2.

Решение от преподавателя:

Пример 12:

 Найти эксцентриситет гиперболы:

Решение от преподавателя: