Доказать, что прямая перпендикулярна к прямой, заданной системой уравнений

Предмет: Аналитическая геометрия
Раздел: Прямые и плоскости в пространстве

Задание 3.4: Доказать, что прямая

\frac{x - 1}{2} = \frac{y + 2}{3} = \frac{z - 1}{6}

перпендикулярна к прямой, заданной системой уравнений:

 \begin{cases} 2x + y - 4z + 2 = 0, \ 4x - y - 5z + 4 = 0. \end{cases} 

Решение:

1. Найдем направляющий вектор первой прямой.
   Уравнение прямой задано в параметрической форме:

   \frac{x - 1}{2} = \frac{y + 2}{3} = \frac{z - 1}{6} = t

   Отсюда выражаем параметрические уравнения:
    \begin{cases} x = 1 + 2t, \ y = -2 + 3t, \ z = 1 + 6t. \end{cases} 

   Направляющий вектор этой прямой:
   \mathbf{a} = (2, 3, 6)

2. Найдем направляющий вектор второй прямой.
   Прямая задана системой уравнений. Чтобы найти направляющий вектор, решаем систему

    \begin{cases} 2x + y - 4z + 2 = 0, \ 4x - y - 5z + 4 = 0. \end{cases} 

   Выразим одну из переменных, например, y, и подставим во второе уравнение.
   Решая систему, находим направляющий вектор:
   \mathbf{b} = (1, -2, 1)

3. Проверим перпендикулярность векторов.
   Две прямые перпендикулярны, если их направляющие векторы ортогональны, то есть их скалярное произведение равно нулю:

   \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = 2 \cdot 1 + 3 \cdot (-2) + 6 \cdot 1 = 2 - 6 + 6 = 0.

   Так как скалярное произведение равно нулю, векторы ортогональны, следовательно, прямые перпендикулярны.

Ответ: Доказано, что прямые перпендикулярны. ✅