Для слудующих функций определить область аналитичности. Найти производную, если она существует

Условие:

Для слудующих функций определить область аналитичности. Найти производную, если она существует

Решение:

На изображении представлены пять функций комплексной переменной, для которых требуется определить область аналитичности и найти производную, если она существует: a) \( f(z) = |z| \cdot \text{Im}z \) b) \( f(z) = \frac{z}{\bar z} \) c) \( f(z) = \cosh z \) d) \( f(z) = \sin(iz) \) e) \( f(z) = z^2 - 3z + 2i \) Давайте рассмотрим каждую из функций. a) Функция \( f(z) = |z| \cdot \text{Im}z \) не будет аналитичной ни в одной точке комплексной плоскости, поскольку она явно зависит от модуля \( z \), что не удовлетворяет условиям Коши-Римана. Следовательно, у нее нет производной в обычном смысле комплексного анализа. b) Функция \( f(z) = \frac{z}{\bar z} \), если \( z \neq 0 \), можно упростить до \( f(z) = \frac{z \cdot z}{z \cdot \bar z} = \frac{z^2}{|z|^2} = 1 \). Получается константная функция, производная которой будет равна нулю везде, кроме начала координат, где функция не определена. Область аналитичности функции - вся комплексная плоскость без начала координат. c) Функция \( f(z) = \cosh z \) аналитична на всей комплексной плоскости (она целая), а ее производная равна \( f'(z) = \sinh z \). d) Функция \( f(z) = \sin(iz) \) также аналитична на всей комплексной плоскости и её производная может быть найдена через цепное правило: \[ f'(z) = \cos(iz) \cdot i. \] e) Функция \( f(z) = z^2 - 3z + 2i \) является полиномом и, следовательно, аналитична на всей комплексной плоскости. Её производная будет \( f'(z) = 2z - 3 \).