Даны вершины пирамиды SPMN.

Пример 1:

Решение от преподавателя:

3) Для нахождения уравнения плоскости, содержащей грань SPN используем уравнение плоскости, проходящей через три точки:

-4x -8y - z + 21 = 0 - уравнение грани А₁А₂А₃

4) Площадь треугольника, построенного на векторах и  находится по формуле:

где

- векторное произведение векторов.

Грань SPN образована векторами .

Находим координаты векторов :

           

и площадь грани SPN:

       

5) Находим нормальный вектор плоскости PMN:

Высота (SН), опущенная из вершины S на грань PMN, перпендикулярна плоскости PMN, а значит направляющий вектор прямой SН параллелен вектору-нормали плоскости PMN, поэтому в качестве направляющего вектора прямой SН можно взять вектор-нормаль плоскости . Высота SН проходит через вершину S, поэтому можно записать каноническое уравнение высоты:

6) Плоскость PMN имеет нормальный вектор  и проходит через точку М(0,0,2), поэтому уравнение этой плоскости имеет вид:

Длину высоты SH находим как расстояние от точки S для плоскости PMN:

7) Находим угол между ребрами SP и SN:

8) Находим угол между ребром SP и гранью PMN, используем нормальный вектор этой грани  (см. п.6):

9) Объем пирамиды, построенной на векторах и находится по формуле:

где

 - смешанное произведение векторов.

Пирамида SPMN  образована векторами .

Находим координаты векторов

и объем пирамиды:

       

Ответ:

Пример 2:

Решение от преподавателя: