Даны вершины пирамиды ABCD.

Пример 1:

Даны вершины пирамиды A₁A₂A₃A₄:

A₁ (x₁y₁z₁), A₂ (x₂; y₂; z₂), A₃ (x₃; y₃; z₃), A₄ (x₄; y₄; z₄).

Найти: 1) внутренний угол при вершине A₁в треугольнике A₁A₂A₄;

2) площадь грани A₁A₂A₃ ;

3) объем пирамиды A₁A₂A₃A₄;

A₁(0; 1; 1), A₂ (3; 4; 4), A₃ (−3; 9; 3), A₄(0; 5; 4).

Решение от преподавателя:

Пример 2:

Решение от преподавателя:

Пример 3:

Решение от преподавателя:

Координаты векторов.
Координаты векторов находим по формуле:
X = xj - xi; Y = yj - yi; Z = zj - zi
здесь X,Y,Z координаты вектора; xi, yi, zi - координаты точки Аi; xj, yj, zj - координаты точки Аj;
Например, для вектора AB
X = x2 - x1; Y = y2 - y1; Z = z2 - z1
X = 0-1; Y = 6-3; Z = 2-2
AB(-1;3;0)
AC(3;-3;-2)
AD(2;-1;2)
BC(4;-6;-2)
BD(3;-4;2)
CD(-1;2;4)

Модули векторов (длина ребер пирамиды)
Длина вектора a(X;Y;Z) выражается через его координаты формулой:







Площадь грани
Площадь грани можно найти по формуле:

где

Найдем площадь грани ABC
Найдем угол между ребрами AB(-1;3;0) и AC(3;-3;-2):


Площадь грани ABC

Найдем площадь грани с учётом геометрического смысла векторного произведения:

Векторное произведение:

i j k -1 3 0 3 -3 -2

=

=i(3(-2)-(-3)*0) - j((-1)*(-2)-3*0) + k((-1)*(-3)-3*3) = -6i - 2j - 6k

Объем пирамиды.
Объем пирамиды, построенный на векторах a1(X1;Y1;Z1), a2(X2;Y2;Z2), a3(X3;Y3;Z3) равен:

X1 Y1 Z1 X2 Y2 Z2 X3 Y3 Z3

 

-1 3 0 3 -3 -2 2 -1 2

где определитель матрицы равен:
∆ = (-1)*((-3)*2-(-1)*(-2))-3*(3*2-(-1)*0)+2*(3*(-2)-(-3)*0) = -22
Уравнение плоскости.
Если точки A1(x1; y1; z1), A2(x2; y2; z2), A3(x3; y3; z3) не лежат на одной прямой, то проходящая через них плоскость представляется уравнением:

x-x1 y-y1 z-z1 x2-x1 y2-y1 z2-z1 x3-x1 y3-y1 z3-z1

= 0

Уравнение плоскости ABC

x-1 y-3 z-2 -1 3 0 3 -3 -2

= 0

(x-1)(3(-2)-(-3)*0) - (y-3)((-1)*(-2)-3*0) + (z-2)((-1)*(-3)-3*3) = -6x - 2y - 6z + 24 = 0
Упростим выражение: -3x - y - 3z + 12 = 0
Длина высоты пирамиды, проведенной из вершины D(3,2,4)
Расстояние d от точки M1(x1;y1;z1) до плоскости Ax + By + Cz + D = 0 равно абсолютному значению величины:

Уравнение плоскости ABC: -3x - y - 3z + 12 = 0

Уравнение высоты пирамиды через вершину D(3,2,4)
Прямая, проходящая через точку M0(x0;y0;z0) и перпендикулярная плоскости Ax + By + Cz + D = 0 имеет направляющий вектор (A;B;C) и, значит, представляется симметричными уравнениями:
Уравнение плоскости ABC: -3x - y - 3z + 12 = 0

Пример 4:

Даны координаты точек А (2; 0; 2), В (5; 6; 5), С (3; 3; 0), D (4; 2; 4)

Найти:

1) найти длину ребра AB;

2) уравнение плоскости, проходящей через точки A, B  и C;

3) уравнение высоты опущенной из точки D на плоскость ABC;

4) площадь грани ABC;

5) объем пирамиды ABCD.

Решение от преподавателя:

1) длина ребра

Расстояние между двумя точками

2) уравнение плоскости, проходящей через точки A, B  и C;

Уравнение плоскости, проходящей через три точки

3) уравнение высоты опущенной из точки D на плоскость ABC;

Уравнение прямой, проходящей через точку перпендикулярно плоскости

4) площадь грани ABC;

5) объем пирамиды ABCD.

Пример 5:

Даны вершины A₁ (x₁; y₁; z₁), A₂ (x₂; y₂; z₂), A₃ (x₃; y₃; z₃),       

A₄ (x₄; y₄; z ₄) пирамиды.

Найти:

1) уравнение плоскости, проходящей через вершины A₁, A ₂, A₃;

2) угол между ребром A₁A₄ и гранью A₁A₂A₃ ;

3) уравнение высоты, проведенной из вершины A₄ на грань A₁A₂A₃ ;

4) уравнение плоскости, проходящей через вершину A₄ параллельно грани

 A₁ A₂ A ₃;

5) уравнение прямой, проходящей через вершину A₂ параллельно ребру A₁A₄.

A₁ (0; 1; 1), A₂ (3; 4; 4), A₃(− 3; 9; 3), A₄ (0; 5; 4).

Решение от преподавателя:

Пример 6:

Даны  координаты вершин пирамиды ABCD

Найдите:

1. угол между рёбрами BA и BD;

2. площадь грани ABC;

3. высоту грани ABC, опущенную из вершины A;

4. объём пирамиды ABCD;

5. высоту пирамиды, опущенную из вершины D.

(1; -2; 1) (3; -1; -2) (8; -5; 6) (2; -1; -2)

Решение от преподавателя:

Пример 7:

 

Решение от преподавателя:

Нормаль к грани ABC: N={6, 2, 6}
Нормаль к грани BDC ищется как векторное произведение вектров BD и BA
[BD{x4, y4, z4} ; BA{x5, y5, z5}] = {n1, n2, n3}
n1 = y4·z5 - y5·z4; n2 = - x4·z5 + x5·z4; n3 = x4·y5 - y4·x5
[BD ; BC] = {-15, -5, 5}
Используя скалярное произведение, получаем: 
N{6, 2, 6}·N2{-15, -5, 5}=|N|·|N1|·cos(γ)
Получаем: -15·6 + (-5)·2 + 5·6 = 16.58·8.72·cos(γ)
-70 = 144.57·cos(γ)
Откуда: cos(γ) = -0.48
Угол между гранями BDC и ABC равен 118.96

Уравнение высоты, опущенной из точки D на грань ABC.
Уравнение высоты имеет вид:

Каноническое уравнение имеет вид:

• Уравнение ребер

Уравнение ребра имеет вид:

Уравнение ребра DC:

Каноническое уравнение имеет вид:

Уравнение грани ABC.

	x - Ax	y - Ay	z - Az		= 0
	Bx - Ax	By - Ay	Bz - Az
	Cx - Ax	Cy - Ay	Cz - Az

 

	x - 1	y - 3	z - 2		= 0
	0 - 1	6 - 3	2 - 2
	4 - 1	0 - 3	0 - 2

 

	x - 1	y - 3	z - 2		= -6·(x - 1) - 2·(y - 3) + (-6)·(z - 2) = -6·x - 2·y + (-6)·z + 24 = 0
	-1	3	0
	3	-3	-2

Направляющий вектор плоскости: N = {-6,-2,-6}

уравнение плоскости параллельной АВС: 3х+y+3z+C=0

Подставляем в точку D:  9+2+21+C=0 C = -32

тогда уравнение имеет вид:

3х+y+3z-32=0

Пример 8:

Дана пирамида АВСD. Найти:

а) уравнение ребра АD;

в) угол между ребром АВ и АС;

д) уравнение плоскости АВС;

е) уравнение высоты, опущенной из вершины D, и ее длину.

А(4,2,5); В(-3,5,6); С(2,-3,-2); D(9,4,18)

Решение от преподавателя:

а) уравнение ребра АD;

в) угол между ребром АВ и АС;

Угол между векторами a(X₁; Y₁;Z₁), b(X₂;Y₂; Z₂) можно найти по формуле: 

где ab = X₁X₂ + Y₁Y₂ + Z₁Z₂ 

Найдем угол между ребрами AB(-7;3;1) и AC(-2; -5;-7):

γ = arccos(0.118) = 89⁰ 18’

д) уравнение плоскости АВС;

Если точки A(x₁; y₁; z₁), B(x₂; y₂; z₂), C(x₃; y₃; z₃) не лежат на одной прямой, то проходящая через них плоскость представляется уравнением:

x-x₁   y-y₁   z-z₁

x₂-x₁  y₂-y₁  z₂-z₁ =0

x₃-x₁  y₃-y₁  z₃-z₁

А(4,2,5); В(-3,5,6); С(2,-3,-2);

Уравнение плоскости ABC

(x-4)(3(-7)-(-5)*1) - (y-2)((-7)*(-7)-(-2)*1) + (z-5)((-7)*(-5)-(-2)*3) =0

 -16x - 51y + 41z-39 = 0

е) уравнение высоты, опущенной из вершины D, и ее длину

Прямая, проходящая через точку M₀(x₀; y₀; z₀) и перпендикулярная плоскости Ax + By + Cz + D = 0 имеет направляющий вектор (A;B;C) и, значит, представляется симметричными уравнениями: 
Уравнение плоскости ABC: -16x - 51y + 41z-39 = 0 

D (9,4,18)

Расстояние d от точки M₁(x₁; y₁; z₁) до плоскости Ax + By + Cz + D = 0 равно абсолютному значению величины: 

Уравнение плоскости ABC: -16x - 51y + 41z-39 = 0