Даны три точки на поскости A, B и C

Пример 1:

Решение от преподавателя:

AB(-12;-5)

AC(-16;-2)

BC(-4;3)

 Длина сторон треугольника.
Расстояние d между точками M1(x1; y1) и M2(x2; y2) определяется по формуле:




Уравнение прямой
Прямая, проходящая через точки A1(x1; y1) и A2(x2; y2), представляется уравнениями:

Уравнение прямой AB
Каноническое уравнение прямой:

или

или
y = 5/12x -29/6 или 12y -5x +58 = 0
Уравнение прямой AC
Каноническое уравнение прямой:

или

или
y = 1/8x -3/4 или 8y -x +6 = 0
Уравнение прямой BC
Каноническое уравнение прямой:

или

или
y = -3/4x -5/2 или 4y + 3x +10 = 0

 Угол между прямыми
Угол между векторами a1(X1;Y1), a2(X2;Y2) можно найти по формуле:

где a1a2 = X1X2 + Y1Y2
Найдем угол между векторами BA(12;5) и BC(-4;3)

γ = arccos(-0.51) = 120.510
Уравнение медианы треугольника
Обозначим середину стороны AC буквой М. Тогда координаты точки M найдем по формулам деления отрезка пополам.


M(6;0)
Уравнение медианы BM найдем, используя формулу для уравнения прямой, проходящей через две заданные точки. Медиана BМ проходит через точки B(2;-4) и М(6;0), поэтому:
Каноническое уравнение прямой:

или

или
y = x -6 или y -x +6 = 0
Найдем длину медианы.
Расстояние между двумя точками выражается через координаты формулой:


Уравнение высоты через вершину A
Прямая, проходящая через точку N0(x0;y0) и перпендикулярная прямой Ax + By + C = 0 имеет направляющий вектор (A;B) и, значит, представляется уравнениями:

Найдем уравнение высоты через вершину A

y = 4/3x - 53/3 или 3y -4x +53 = 0
Данное уравнение можно найти и другим способом. Для этого найдем угловой коэффициент k1 прямой BC.
Уравнение BC: y = -3/4x -5/2, т.е. k1 = -3/4
Найдем угловой коэффициент k перпендикуляра из условия перпендикулярности двух прямых: k1*k = -1.
Подставляя вместо k1 угловой коэффициент данной прямой, получим:
-3/4k = -1, откуда k = 4/3
Так как перпендикуляр проходит через точку A(14,1) и имеет k = 4/3,то будем искать его уравнение в виде: y-y0 = k(x-x0).
Подставляя x0 = 14, k = 4/3, y0 = 1 получим:
y-1 = 4/3(x-14)
или
y = 4/3x - 53/3 или 3y -4x +53 = 0
Найдем точку пересечения с прямой BC:
Имеем систему из двух уравнений:
4y + 3x +10 = 0
3y -4x +53 = 0
Из первого уравнения выражаем y и подставим во второе уравнение.
Получаем:
x = 182/25
y = -199/25
D(182/25;-199/25)
Длина высоты треугольника, проведенной из вершины A
Расстояние d от точки M1(x1;y1) до прямой Ax + By + С = 0 равно абсолютному значению величины:

Найдем расстояние между точкой A(14;1) и прямой BC (4y + 3x +10 = 0)


Длину высоты можно вычислить и по другой формуле, как расстояние между точкой A(14;1) и точкой D(182/25;-199/25).
Расстояние между двумя точками выражается через координаты формулой:

RGB – стороны треугольника, фиолетовый – высота, оранжевый – медиана.