Дано уравнение поверхности в виде F (x, y, z) = 0 или z= f (x, y).

Пример 1:

Дано уравнение поверхности в виде F (x, y, z) = 0 или z= f (x, y).  Т

ребуется составить уравнение касательной плоскости к данной поверхности в точке M₀(x₀, y ₀, z₀), если абсцисса x ₀ и ордината y₀ заданы. Найти также аппликату z ₁ точки M₁ (x₁, y₁, z₁), лежащей на этой касательной плоскости, если даны абсцисса x₁ и ордината y₁ точки M₁:

Решение от преподавателя:

Пример 2:

Решение от преподавателя:

Запишем уравнения касательной в общем виде: 
z - z₀ = f'_x(x₀,y₀,z₀)(x - x₀) + f'_y(x₀,y₀,z₀)(y - y₀) 
По условию задачи x₀ = 1, y₀ = 2, тогда z₀ = 12 
Найдем частные производные функции

z = f(x,y) = 2*x^2+3*x*y+y^2: 
f'_x(x,y) = (2*x²+3*x*y+y²)'_x = 4*x+3*y 
f'_y(x,y) = (2*x²+3*x*y+y²)'_y = 3*x+2*y 
В точке М₀(1,2) значения частных производных: 
f'_x(1;2) = 10 
f'_y(1;2) = 7 
Пользуясь формулой, получаем уравнение касательной плоскости к поверхности в точке М₀: 
z - 12 = 10(x - 1) + 7(y - 2) 
или 
-10*x-7*y+z+12 = 0