Дан треугольник с вершинами ABC. Найти координаты точки P пересечения высот AM и CH

Условие:

Дан треугольник с вершинами A(-4;4) B(6;2) C(-1;8) Найти: а) Координаты точки P пересечения высот AM и CH;

Решение:

Для того чтобы найти точку пересечения высот треугольника ABC, нам необходимо найти уравнения прямых, на которых лежат эти высоты, и затем решить полученную систему уравнений. Высота AM будет перпендикулярна стороне BC. Уравнение прямой для стороны BC можно найти, используя координаты точек B и C. Сначала находим коэффициенты направления (угловые коэффициенты) прямой, проходящей через точки B и C: k_bc = (y_C - y_B) / (x_C - x_B) = (8 - 2) / (-1 - 6) = 6 / (-7) = -6/7. Теперь мы ищем уравнение прямой, перпендикулярной BC и проходящей через точку A. Для перпендикулярной прямой угловой коэффициент будет обратным и противоположным, то есть k_am = 7/6. Теперь уравнение прямой AM можно записать в форме y - y1 = k(x - x1), где (x1, y1) - координаты точки A: y - 4 = (7/6)(x + 4). Аналогично, высота CH будет перпендикулярна стороне AB. Мы можем найти угловой коэффициент прямой AB: k_ab = (y_B - y_A) / (x_B - x_A) = (2 - 4) / (6 - (-4)) = -2 / 10 = -1/5. Тогда угловой коэффициент для высоты CH будет k_ch = 5. Уравнение прямой CH в той же форме будет: y - 8 = 5(x + 1). Теперь у нас есть система уравнений: 1) y - 4 = (7/6)(x + 4) 2) y - 8 = 5(x + 1) Мы можем решить эту систему, чтобы найти точку пересечения прямых, то есть вычислить координаты точки P. Давайте это сделаем: Из уравнения 1 выразим y: y = (7/6)x + 28/6 + 24/6 y = (7/6)x + 52/6 Подставим выражение для y из первого уравнения во второе: (7/6)x + 52/6 - 8 = 5(x + 1) Упростим и решим относительно x: (7/6)x + 52/6 - 48/6 = 5x + 5 (7/6)x - 5x = 5 - 52/6 + 48/6 (7/6 - 30/6)x = (30/6 - 52/6) (-23/6)x = -22/6 x = (-22/6) / (-23/6) x = 22/23 Теперь подставим значение x в уравнение для y: y = (7/6)(22/23) + 52/6 y = (7*22)/(6*23) + 52/6 y = (154/138) + (52/6) y = 7/6 + 52/6 y = (7 + 52) / 6 y = 59/6 Итак, координаты точки P пересечения высот AM и CH: P(22/23; 59/6).