Cоставить уравнение плоскости, проходящей через точку и перпендикулярной данной прямой

Предмет: Аналитическая геометрия
Раздел: Уравнение плоскости в пространстве

Решение:

Нам необходимо составить уравнение плоскости, проходящей через точку ( A(4,3,-2) ) и перпендикулярной данной прямой:

\frac{x-2}{2} = \frac{y-4}{3} = \frac{z-2}{6}.

1. Нахождение нормального вектора плоскости

Прямая задана в параметрическом виде:

 \begin{cases} x = 2 + 2t, \ y = 4 + 3t, \ z = 2 + 6t. \end{cases} 

Направляющий вектор этой прямой:

\mathbf{d} = (2,3,6).

Так как плоскость перпендикулярна данной прямой, то её нормальный вектор совпадает с направляющим вектором прямой:

\mathbf{n} = (2,3,6).

2. Уравнение плоскости

Общее уравнение плоскости имеет вид:

A(x - x_0) + B(y - y_0) + C(z - z_0) = 0,

где ( (x_0, y_0, z_0) ) — точка, через которую проходит плоскость, а ( (A, B, C) ) — нормальный вектор.

Подставляем найденные данные:

2(x - 4) + 3(y - 3) + 6(z + 2) = 0.

3. Приведение к стандартному виду

Раскрываем скобки:

2x - 8 + 3y - 9 + 6z + 12 = 0.

Упрощаем:

2x + 3y + 6z - 5 = 0.

Ответ:

Уравнение искомой плоскости:

2x + 3y + 6z - 5 = 0.