Анализ квадратичной функции

Данное задание относится к разделу «Аналитическая геометрия» или «Математический анализ», если рассматривать функцию как объект. Мы имеем квадратичную функцию двух переменных \( z = z(x, y) \). Функция \( z(x, y) = 2x^2 + 3y^2 - 2xy + 2x - 16y + 3 \) представляет собой квадратичное выражение относительно переменных \( x \) и \( y \). Для анализа функции можно определить следующие моменты:

1. Определение и Вид Функции

Эта функция — квадратичная форма от двух переменных. Если выражение представить в общем виде квадратичной функции нескольких переменных:

\[ z(x, y) = Ax^2 + Bxy + Cy^2 + Dx + Ey + F, \]

где \( A = 2 \), \( B = -2 \), \( C = 3 \), \( D = 2 \), \( E = -16 \), \( F = 3 \).

2. Исследуем поверхность — это квадратичная поверхность (сопоставим с уравнением второго порядка).

Для геометрического анализа нужно провести следующие шаги:

a) Найдем стационарные точки (точки экстремумов).

Для этого нужно найти частные производные функции по переменным \( x \) и \( y \) и приравнять их к нулю.

Частная производная по \( x \):

\[ \frac{\partial z}{\partial x} = 4x - 2y + 2. \]

Частная производная по \( y \):

\[ \frac{\partial z}{\partial y} = 6y - 2x - 16. \]

Теперь решим систему уравнений:

1. \( 4x - 2y + 2 = 0 \)
2. \( 6y - 2x - 16 = 0 \)

Начнем с первого уравнения:

\[ 4x - 2y = -2, \quad \text{или} \quad 2x - y = -1, \quad (1) \]

Во втором уравнении выразим \( x \):

\[ 6y - 2x = 16, \quad \text{или} \quad x = 3y - 8, \quad (2) \]

Подставим выражение для \( x \) из (2) в уравнение (1):

\[ 2(3y - 8) - y = -1, \]

\[ 6y - 16 - y = -1, \]

\[ 5y = 15, \]

\[ y = 3. \]

Теперь подставим \( y = 3 \) в уравнение (2):

\[ x = 3(3) - 8 = 9 - 8 = 1. \]

Таким образом, стационарная точка — \( (1, 3) \).

b) Исследуем характер стационарной точки.

Посчитаем вторые частные производные:

\[ \frac{\partial^2 z}{\partial x^2} = 4, \quad \frac{\partial^2 z}{\partial y^2} = 6, \quad \frac{\partial^2 z}{\partial x \partial y} = -2. \]

Посчитаем дискриминант:

\[ D = \frac{\partial^2 z}{\partial x^2} \cdot \frac{\partial^2 z}{\partial y^2} - \left( \frac{\partial^2 z}{\partial x \partial y} \right)^2 = 4 \cdot 6 - (-2)^2 = 24 - 4 = 20. \]

Так как \( D > 0 \) и \( \frac{\partial^2 z}{\partial x^2} > 0 \), это означает, что в точке \( (1, 3) \) функция имеет локальный минимум.

Ответ:

Стационарная точка функции — \( (1, 3) \), и это точка локального минимума.