Записать уравнение плоскости, проходящей через точки М, (1, 6,-3), M, (0, 4, 5), м (1, 2, - 1) и найти расстояние от точки М, (6, 0+1, - (0 +6)) до этой плоскости.

Это задание относится к предмету "Аналитическая геометрия" — разделу математики, который занимается изучением геометрических объектов с помощью координат и уравнений.

Шаг 1: Запись уравнения плоскости, проходящей через три точки

Пусть $\text{(}{M}_1(1,6,-3)\text{)}$, $\text{(}{M}_2(0,4,5)\text{)}$ и $\text{(}{M}_3(1,2,-1)\text{)}$. Для записи уравнения плоскости через три точки, необходимо использовать векторное произведение.

1. Найдем векторы $\text{(}\overrightarrow{M_1{M}_2}\text{)}$ и $\text{(}\overrightarrow{M_1{M}_3}\text{)}$:
   • $\text{[}\overrightarrow{M_1{M}_2}=⟨0-1,4-6,5+3⟩=⟨-1,-2,8⟩\text{]}$
   • $\text{[}\overrightarrow{M_1{M}_3}=⟨1-1,2-6,-1+3⟩=⟨0,-4,2⟩\text{]}$
2. Найдем векторное произведение $\text{(}\overrightarrow{M_1{M}_2}\times \overrightarrow{M_1{M}_3}\text{)}$:
   • $\text{[}\overrightarrow{N}=\left|\begin{array}{ccc}\mathbf{i}& \mathbf{j}& \mathbf{k}\\ -1& -2& 8\\ 0& -4& 2\end{array}\right|=\mathbf{i}(-2\cdot 2-8\cdot (-4))-\mathbf{j}(-1\cdot 2-8\cdot 0)+\mathbf{k}(-1\cdot (-4)-(-2)\cdot 0)\text{]}$
   • $\text{[}\overrightarrow{N}=\mathbf{i}(16-4)-\mathbf{j}(-2)+\mathbf{k}(4)\text{]}$
   • $\text{[}\overrightarrow{N}=\mathbf{i}\cdot 14+\mathbf{j}\cdot 2+\mathbf{k}\cdot 4\text{]}$
   • Таким образом, нормальный вектор плоскости $\text{(}\overrightarrow{N}=⟨14,2,4⟩\text{)}$.
3. Запишем уравнение плоскости: Уравнение плоскости, проходящей через точку $\text{(}{M}_1(1,6,-3)\text{)}$ и имеющей нормальный вектор $\text{(}\overrightarrow{N}=⟨14,2,4⟩\text{)}$, имеет вид:
   • $\text{[}14(x-1)+2(y-6)+4(z+3)=0\text{]}$
   • $\text{[}14x-14+2y-12+4z+12=0\text{]}$
   • $\text{[}14x+2y+4z-14=0\text{]}$
   • $\text{[}7x+y+2z-7=0\text{]}$
4. Получаем уравнение плоскости: $\text{[}7x+y+2z-7=0\text{]}$

Шаг 2: Найти расстояние от точки $\text{(}{M}_4\text{)}$ до этой плоскости

Точка $\text{(}{M}_4(6,0+1,-(0+6))=(6,1,-6)\text{)}$. Формула расстояния от точки до плоскости $\text{(}Ax+By+Cz+D=0\text{)}$:

• $\text{[}\text{Расстояние}=\frac{|A{x}_1+B{y}_1+C{z}_1+D|}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}\text{]}$
• Где $\text{(}A=7\text{)}$, $\text{(}B=1\text{)}$, $\text{(}C=2\text{)}$, $\text{(}D=-7\text{)}$, и точка $\text{(}(x_1,y_1,z_1)=(6,1,-6)\text{)}$.
• Подставим значения:
  • $\text{[}\text{Расстояние}=\frac{|7\cdot 6+1\cdot 1+2\cdot (-6)-7|}{\sqrt{49+1+4}}\text{]}$
  • $\text{[}\text{Расстояние}=\frac{|42+1-12-7|}{\sqrt{54}}\text{]}$
  • $\text{[}\text{Расстояние}=\frac{|24|}{\sqrt{54}}=\frac{24}{3\sqrt{6}}=\frac{8}{\sqrt{6}}=\frac{8\sqrt{6}}{6}=\frac{4\sqrt{6}}{3}\text{]}$
• Таким образом, расстояние от точки $\text{(}{M}_4(6,1,-6)\text{)}$ до плоскости $\text{(}7x+y+2z-7=0\text{)}$ равно $\text{(}\frac{4\sqrt{6}}{3}\text{)}$.