Записать уравнение плоскости, проходящей через точки М, (1, 6,-3), M, (0, 4, 5), м (1, 2, - 1) и найти расстояние от точки М, (6, 0+1, - (0 +6)) до этой плоскости.

Это задание относится к предмету "Аналитическая геометрия" — разделу математики, который занимается изучением геометрических объектов с помощью координат и уравнений.

Шаг 1: Запись уравнения плоскости, проходящей через три точки

Пусть \( M_1 (1, 6, -3) \), \( M_2 (0, 4, 5) \) и \( M_3 (1, 2, -1) \). Для записи уравнения плоскости через три точки, необходимо использовать векторное произведение.

1. Найдем векторы \(\vec{M_1 M_2}\) и \(\vec{M_1 M_3}\):
   • \[\vec{M_1 M_2} = \langle 0 - 1, 4 - 6, 5 + 3 \rangle = \langle -1, -2, 8 \rangle \]
   • \[\vec{M_1 M_3} = \langle 1 - 1, 2 - 6, -1 + 3 \rangle = \langle 0, -4, 2 \rangle\]
2. Найдем векторное произведение \(\vec{M_1 M_2} \times \vec{M_1 M_3}\):
   • \[\vec{N} = \left| \begin{matrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ -1 & -2 & 8 \\ 0 & -4 & 2 \end{matrix} \right| = \mathbf{i}(-2 \cdot 2 - 8 \cdot (-4)) - \mathbf{j}(-1 \cdot 2 - 8 \cdot 0) + \mathbf{k}(-1 \cdot (-4) - (-2) \cdot 0)\]
   • \[\vec{N} = \mathbf{i} (16 - 4) - \mathbf{j} (-2) + \mathbf{k} (4)\]
   • \[\vec{N} = \mathbf{i} \cdot 14 + \mathbf{j} \cdot 2 + \mathbf{k} \cdot 4 \]
   • Таким образом, нормальный вектор плоскости \(\vec{N} = \langle 14, 2, 4 \rangle\).
3. Запишем уравнение плоскости: Уравнение плоскости, проходящей через точку \( M_1 (1, 6, -3) \) и имеющей нормальный вектор \( \vec{N} = \langle 14, 2, 4 \rangle \), имеет вид:
   • \[ 14(x - 1) + 2(y - 6) + 4(z + 3) = 0 \]
   • \[ 14x - 14 + 2y - 12 + 4z + 12 = 0 \]
   • \[ 14x + 2y + 4z - 14 = 0 \]
   • \[ 7x + y + 2z - 7 = 0 \]
4. Получаем уравнение плоскости: \[ 7x + y + 2z - 7 = 0 \]

Шаг 2: Найти расстояние от точки \( M_4 \) до этой плоскости

Точка \( M_4 (6, 0+1, - (0+6)) = (6, 1, -6) \). Формула расстояния от точки до плоскости \( Ax + By + Cz + D = 0 \):

• \[\text{Расстояние} = \frac{|Ax_1 + By_1 + Cz_1 + D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}\]
• Где \( A = 7 \), \( B = 1 \), \( C = 2 \), \( D = -7 \), и точка \( (x_1, y_1, z_1) = (6, 1, -6) \).
• Подставим значения:
  • \[\text{Расстояние} = \frac{|7 \cdot 6 + 1 \cdot 1 + 2 \cdot (-6) - 7|}{\sqrt{49 + 1 + 4}}\]
  • \[\text{Расстояние} = \frac{|42 + 1 - 12 - 7|}{\sqrt{54}}\]
  • \[\text{Расстояние} = \frac{|24|}{\sqrt{54}} = \frac{24}{3\sqrt{6}} = \frac{8}{\sqrt{6}} = \frac{8\sqrt{6}}{6} = \frac{4\sqrt{6}}{3}\]
• Таким образом, расстояние от точки \( M_4 (6, 1, -6) \) до плоскости \( 7x + y + 2z - 7 = 0 \) равно \(\frac{4\sqrt{6}}{3}\).