Вычислить длины диагоналей параллелограмма; угол между диагоналями и площадь параллелограмма

Определение задания

Это задача на векторную геометрию. Необходимо вычислить длины диагоналей параллелограмма, угол между диагоналями и площадь параллелограмма, заданного двумя векторами a и b.

Предмет: Линейная алгебра.

Раздел: Векторная геометрия и векторные расчеты.

Дано:

• Вектор a = 6p − q;
• Вектор b = p + q;
• ‖p‖ = 3 (длина вектора p);
• ‖q‖ = 4 (длина вектора q);
• Угол между векторами p и q: \(\varphi = \frac{\pi}{4}\).

Нам нужно:

1. Вычислить длины диагоналей параллелограмма.
2. Найти угол между диагоналями.
3. Определить площадь параллелограмма.

Шаг 1: Вычисление скалярного произведения векторов p и q

Чтобы удобно работать с векторами p и q, для начала используем формулу скалярного произведения двух векторов:

\[ \mathbf{p} \cdot \mathbf{q} = |\mathbf{p}| |\mathbf{q}| \cos(\varphi) \]

Где:

\[ |\mathbf{p}| = 3, \quad |\mathbf{q}| = 4, \quad \varphi = \frac{\pi}{4} \]

Подставим значения:

\[ \mathbf{p} \cdot \mathbf{q} = 3 \cdot 4 \cdot \cos\left(\frac{\pi}{4}\right) = 12 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 6\sqrt{2} \]

Шаг 2: Длина диагоналей параллелограмма

Диагонали параллелограмма представлены векторами:

• d₁ = a + b
• d₂ = a − b

Вычислим вектор d₁:

\[ \mathbf{d_1} = \mathbf{a} + \mathbf{b} = (6\mathbf{p} - \mathbf{q}) + (\mathbf{p} + \mathbf{q}) = 6\mathbf{p} - \mathbf{q} + \mathbf{p} + \mathbf{q} = 7\mathbf{p} \]

Длина диагонали d₁:

\[ |\mathbf{d_1}| = 7|\mathbf{p}| = 7 \cdot 3 = 21 \]

Вычислим вектор d₂:

\[ \mathbf{d_2} = \mathbf{a} - \mathbf{b} = (6\mathbf{p} - \mathbf{q}) - (\mathbf{p} + \mathbf{q}) = 6\mathbf{p} - \mathbf{q} - \mathbf{p} - \mathbf{q} = 5\mathbf{p} - 2\mathbf{q} \]

Теперь найдем длину вектора d₂. Для этого применим формулу длины вектора:

\[ |\mathbf{d_2}| = \sqrt{(5\mathbf{p})^2 + (-2\mathbf{q})^2 + 2(5\mathbf{p})(-2\mathbf{q})\cos(\varphi)} \]

\[ |\mathbf{d_2}| = \sqrt{(5 \cdot 3)^2 + (-2 \cdot 4)^2 + 2(5 \cdot 3)(-2 \cdot 4)\cos\left( \frac{\pi}{4} \right)} \]

\[ |\mathbf{d_2}| = \sqrt{(15)^2 + (-8)^2 + 2(-120) \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}} = \sqrt{225 + 64 + 2(-120) \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}} \]

\[ |\mathbf{d_2}| = \sqrt{289 - 120\sqrt{2}} \]

Этот результат является окончательным выражением для длины диагонали d₂.

Шаг 3: Угол между диагоналями

Чтобы найти угол между диагоналями, нужно вычислить скалярное произведение векторов d₁ и d₂ и затем применить формулу:

\[ \cos \theta = \frac{\mathbf{d_1} \cdot \mathbf{d_2}}{|\mathbf{d_1}| |\mathbf{d_2}|} \]

Найдем \(\mathbf{d_1} \cdot \mathbf{d_2}\):

\[ \mathbf{d_1} \cdot \mathbf{d_2} = 7\mathbf{p} \cdot (5\mathbf{p} - 2\mathbf{q}) = 7(5\mathbf{p} \cdot \mathbf{p} - 2\mathbf{p} \cdot \mathbf{q}) \]

\[ = 7(5 \cdot 9 - 2 \cdot 6\sqrt{2}) = 7(45 - 12\sqrt{2}) = 315 - 84\sqrt{2} \]

Теперь мы можем подставить значения в формулу для косинуса угла, но для вычисления точного угла нужно закончить подстановки.

Шаг 4: Площадь параллелограмма

Площадь параллелограмма можно вычислить как:

\[ S = |\mathbf{a} \times \mathbf{b}| \]

Для этого нам нужно вычислить векторное произведение a и b.