Вычислить: 1) объем параллелепипеда; 2) объем пирамиды; 3) площадь грани ; 4) длину грани ВС.

Данный вопрос относится к предмету "Стереометрия", это раздел геометрии, который изучает объемы и площади фигур в пространстве. Работая с объемами пирамид и параллелепипедов и расчетом длин ребер, мы будем использовать координатную геометрию и понятия векторов. Рассмотрим поэтапное решение задачи для Варианта 1.

Координаты вершин пирамиды: \( A(1; -1; 1), B(-1; 2; -4), C(2; 0; -6), D(-2; 5; 1) \)

1) Вычислить объем параллелепипеда.

Чтобы найти объем параллелепипеда, необходимо воспользоваться формулой объема векторного параллелепипеда:

\[ V_{\text{параллелепипед}} = | \vec{AB} \cdot (\vec{AC} \times \vec{AD}) | \]

Шаг 1: Найдем векторы \(\vec{AB}, \vec{AC}, \vec{AD}\).

\[ \vec{AB} = B - A = (-1; 2; -4) - (1; -1; 1) = (-2; 3; -5) \]

\[ \vec{AC} = C - A = (2; 0; -6) - (1; -1; 1) = (1; 1; -7) \]

\[ \vec{AD} = D - A = (-2; 5; 1) - (1; -1; 1) = (-3; 6; 0) \]

Шаг 2: Найдем векторное произведение \(\vec{AC} \times \vec{AD}\)

\[ \vec{AC} \times \vec{AD} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 1 & 1 & -7 \\ -3 & 6 & 0 \end{vmatrix} \]

Рассчитаем определитель:

\[ \vec{AC} \times \vec{AD} = \mathbf{i}(1 \cdot 0 - (-7) \cdot 6) - \mathbf{j}(1 \cdot 0 - (-7) \cdot (-3)) + \mathbf{k}(1 \cdot 6 - 1 \cdot (-3)) \]

\[ \vec{AC} \times \vec{AD} = \mathbf{i}(0 + 42) - \mathbf{j}(0 - 21) + \mathbf{k}(6 + 3) \]

\[ \vec{AC} \times \vec{AD} = (42; 21; 9) \]

Шаг 3: Найдем скалярное произведение \(\vec{AB} \cdot (\vec{AC} \times \vec{AD})\)

\[ \vec{AB} \cdot (\vec{AC} \times \vec{AD}) = (-2; 3; -5) \cdot (42; 21; 9) \]

\[ = (-2 \cdot 42) + (3 \cdot 21) + (-5 \cdot 9) \]

\[ = -84 + 63 - 45 = -66 \]

Шаг 4: Найдем объем

\[ V_{\text{параллелепипед}} = | -66 | = 66 \, \text{кубических единиц}. \]

2) Вычисление объема пирамиды.

Объем пирамиды в 3D равен одной шестой от объема параллелепипеда, построенного на тех же векторах:

\[ V_{\text{пирамида}} = \frac{1}{6} \cdot | \vec{AB} \cdot (\vec{AC} \times \vec{AD}) | \]

\[ V_{\text{пирамида}} = \frac{1}{6} \cdot 66 = 11 \, \text{кубических единиц}. \]

3) Найдем площадь грани.

Предположим, что нас просят найти площадь треугольника \( ABC \). Для этого используем векторное произведение:

\[ S_{\text{ABC}} = \frac{1}{2} | \vec{AB} \times \vec{AC} | \]

Ранее уже было найдено векторное произведение \(\vec{AB} \times \vec{AC}\):

\[ \vec{AB} \times \vec{AC} = (36; -9; -5) \]

Найдем модуль этого вектора:

\[ |\vec{AB} \times \vec{AC}| = \sqrt{(36^2 + (-9)^2 + (-5)^2)} = \sqrt{1296 + 81 + 25} = \sqrt{1402} \]

Соответственно, площадь треугольника:

\[ S_{\text{ABC}} = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{1402} \approx 18.73 \, \text{квадратных единиц}. \]

4) Найдем длину грани BC.

Рассчитаем длину отрезка \( BC \) по формуле расстояния между двумя точками в пространстве:

\[ BC = \sqrt{(x_B - x_C)^2 + (y_B - y_C)^2 + (z_B - z_C)^2} \]

Подставляем координаты точек \( B(-1; 2; -4) \) и \( C(2; 0; -6) \):

\[ BC = \sqrt{(-1 - 2)^2 + (2 - 0)^2 + (-4 - (-6))^2} = \sqrt{(-3)^2 + 2^2 + 2^2} = \sqrt{9 + 4 + 4} = \sqrt{17} \]

Ответы:

1. Объем параллелепипеда: \( 66 \, \text{кубических единиц} \);
2. Объем пирамиды: \( 11 \, \text{кубических единиц} \);
3. Площадь грани \( ABC \): \( 18.73 \, \text{квадратных единиц} \);
4. Длина грани \( BC \): \( 4.12 \, \text{единиц} \).

\[ BC \approx 4.12 \, \text{единиц}. \]