Векторная геометрия в пространстве, объём пирамиды, вычисление углов и длин с помощью координат векторов

Предмет: Геометрия

Тема: Векторная геометрия в пространстве, объём пирамиды, вычисление углов и длин с помощью координат векторов

Давайте решим этот заданный вопрос по частям, шаг за шагом:

Даны вершины пирамиды:

• A_1(3, 2, 4)
• A_2(2, 1, -2)
• A_3(-3, -2, -1)
• A_4(-4, 2, 0)

Пункт 1. Найти длину ребра A_1A_2.

Длина отрезка между двумя точками A(x_1, y_1, z_1) и B(x_2, y_2, z_2) в пространстве находится по формуле:

d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2 + (z_2 - z_1)^2}

Подставим координаты A_1(3, 2, 4) и A_2(2, 1, -2):

L = \sqrt{(2 - 3)^2 + (1 - 2)^2 + (-2 - 4)^2} = \sqrt{(-1)^2 + (-1)^2 + (-6)^2} = \sqrt{1 + 1 + 36} = \sqrt{38}

Ответ: L = \sqrt{38} \approx 6.16

Пункт 2. Угол между рёбрами A_1A_2 и A_1A_4.

Для нахождения угла между двумя векторами \vec{a} и \vec{b} используется формула:

\cos \theta = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| |\vec{b}|}

где \vec{a} \cdot \vec{b} — скалярное произведение двух векторов, а |\vec{a}| и |\vec{b}| — их длины.

Для рёбер A_1A_2 и A_1A_4 нам нужно сначала найти их координаты:

• Вектор \vec{A_1A_2} = A_2 - A_1 = (2 - 3, 1 - 2, -2 - 4) = (-1, -1, -6)
• Вектор \vec{A_1A_4} = A_4 - A_1 = (-4 - 3, 2 - 2, 0 - 4) = (-7, 0, -4)

Теперь найдём скалярное произведение \vec{A_1A_2} \cdot \vec{A_1A_4}:

\vec{A_1A_2} \cdot \vec{A_1A_4} = (-1)(-7) + (-1)(0) + (-6)(-4) = 7 + 0 + 24 = 31

Теперь найдём длины векторов \vec{A_1A_2} и \vec{A_1A_4}:

|\vec{A_1A_2}| = \sqrt{(-1)^2 + (-1)^2 + (-6)^2} = \sqrt{1 + 1 + 36} = \sqrt{38}

|\vec{A_1A_4}| = \sqrt{(-7)^2 + 0^2 + (-4)^2} = \sqrt{49 + 0 + 16} = \sqrt{65}

Теперь подставим в формулу для косинуса угла:

\cos \theta = \frac{31}{\sqrt{38} \cdot \sqrt{65}} = \frac{31}{\sqrt{2470}}

Используем калькулятор, чтобы вычислить численное значение:

\cos \theta \approx \frac{31}{49.7} \approx 0.624

Найдём сам угол \theta:

\theta = \arccos(0.624) \approx 51.9^\circ

Ответ: \theta \approx 51.9^\circ