В треугольнике известны вершиныA(1;2;-3), В(2;5;1) и сторона АС(-1;0;4). Найти длину его высоты СМ

Предмет: Аналитическая геометрия

Раздел предмета: Геометрия в пространстве (векторы, вычисление длины высоты в треугольнике)

Дано:

• Вершина \( A(1; 2; -3) \)
• Вершина \( B(2; 5; 1) \)
• Вектор стороны \( AC(-1 ; 0 ; 4) \)

Задача:

Найти длину высоты \( CM \), проведенной из точки \( C \).

Шаг 1. Найдем вектор \( AB \)

Мы можем найти вектор \( AB \) по координатам точек \( A \) и \( B \):

\[\overrightarrow{AB} = B - A = (2 - 1; 5 - 2; 1 + 3) = (1; 3; 4)\]

Шаг 2. Найдем векторное произведение \( \overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC} \)

По формуле векторного произведения:

\[ \overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 1 & 3 & 4 \\ -1 & 0 & 4 \end{vmatrix}\] \]

Вычисляем определитель:

\[ \overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC} = \mathbf{i} (3 \cdot 4 - 4 \cdot 0) - \mathbf{j} (1 \cdot 4 - 4 \cdot (-1)) + \mathbf{k} (1 \cdot 0 - 3 \cdot (-1)) \]

\[ = \mathbf{i} (12 - 0) - \mathbf{j} (4 + 4) + \mathbf{k} (0 + 3) \]

\[ = 12 \mathbf{i} - 8 \mathbf{j} + 3 \mathbf{k} \]

\[ \overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC} = (12; -8; 3) \]

Шаг 3. Найдем длину \( \left|\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC}\right| \)

По формуле длины вектора:

\[ \left|\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC}\right| = \sqrt{12^2 + (-8)^2 + 3^2} = \sqrt{144 + 64 + 9} = \sqrt{217} \]

Шаг 4. Найдем длину вектора \( \overrightarrow{AB} \)

Для расчета длины \( \overrightarrow{AB} \):

\[ \left|\overrightarrow{AB}\right| = \sqrt{1^2 + 3^2 + 4^2} = \sqrt{1 + 9 + 16} = \sqrt{26} \]

Шаг 5. Найдем площадь треугольника \( S_{ABC} \)

Площадь треугольника можно найти с помощью формулы:

\[ S_{ABC} = \frac{1}{2} \left|\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC}\right| = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{217} \]

Шаг 6. Найдем длину высоты \( h = CM \)

Высота в треугольнике связана с площадью формулой:

\[ S = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot h \]

Отсюда высота \( h \):

\[ h = \frac{2 \cdot S}{\left|\overrightarrow{AB}\right|} = \frac{2 \cdot \frac{1}{2} \sqrt{217}}{\sqrt{26}} = \frac{\sqrt{217}}{\sqrt{26}} = \sqrt{\frac{217}{26}} = \sqrt{8.346} \approx 2.89 \]

Ответ:

Длина высоты \( CM \approx 2.89 \).