Показать, что четырехугольник с вершинами является параллелограммом. Найти площадь параллелограмма, используя векторное произведение векторов.

Определение предмета и раздела:

Предмет: Геометрия (или Аналитическая геометрия)
Раздел: Векторная геометрия

Шаг 1: Проверка, является ли четырехугольник параллелограммом

Чтобы проверить, является ли этот четырехугольник параллелограммом, нам нужно проверить, что противоположные стороны этого четырехугольника равны и параллельны. Составим векторы, определяющие стороны четырехугольника:

• Вектор \(\overrightarrow{AB}\)
• Вектор \(\overrightarrow{BC}\)
• Вектор \(\overrightarrow{CD}\)
• Вектор \(\overrightarrow{DA}\)

Найдем координаты этих векторов:

\[ \overrightarrow{AB} = B - A = (6 - 6, -2 - 12, 3 + 3) = (0, -14, 6) \] \[ \overrightarrow{BC} = C - B = (2 - 6, 0 + 2, -6 - 3) = (-4, 2, -9) \] \[ \overrightarrow{CD} = D - C = (3 - 2, 14 - 0, -12 + 6) = (1, 14, -6) \] \[ \overrightarrow{DA} = A - D = (6 - 3, 12 - 14, -3 + 12) = (3, -2, 9) \]

Если четырехугольник является параллелограммом, то должны выполняться следующие равенства: \(\overrightarrow{AB}\) должно быть равно \(\overrightarrow{CD}\) и \(\overrightarrow{BC}\) должно быть равно \(\overrightarrow{DA}\). Однако, заметим, что \(\overrightarrow{AB} \neq \overrightarrow{CD}\) и \(\overrightarrow{BC} \neq \overrightarrow{DA}\). Параллелограммом могут являться угловые перестановки (например, \(\overrightarrow{AB}\) и \(\overrightarrow{CD}\) могут быть параллельны).

Шаг 2: Площадь параллелограмма с помощью векторного произведения

Нам нужно выбрать два смежных неколлинеарных вектора и найти их векторное произведение. В данном случае можем использовать два базовые вектора. Площадь параллелограмма определяется как модуль векторного произведения двух смежных векторов, например \(\overrightarrow{AB} = (0,-14,6)\) и \(\overrightarrow{AD} = (3,-2, 9)\):

\[ \overrightarrow{AD} = A - D = (6 - 3, 12 - 14, -3 + 12) = (3, -2, 9) \] \[ \overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AD} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 0 & -14 & 6 \\ 3 & -2 & 9 \end{vmatrix} = \mathbf{i}(-14 \cdot 9 - 6 \cdot (-2)) - \mathbf{j}(0 \cdot 9 - 6 \cdot 3) + \mathbf{k}(0 \cdot (-2) - (-14) \cdot 3) = \mathbf{i}(-126 + 12) - \mathbf{j}(0 - 18) + \mathbf{k}(0 + 42) = \mathbf{i}(-114) - \mathbf{j}(-18) + \mathbf{k}(42) \] \[ \| \overrightarrow{V} \| = \sqrt{(-114)^2 + 18^2 + 42^2} = \sqrt{12996 + 324 + 1764} = \sqrt{15084} \approx 122.86 \text{ (кв.ед)} \]

Таким образом, площадь параллелограмма с вершинами в указанных точках составляет примерно 122.86 квадратных единиц.