Показать, что четырехугольник с вершинами является параллелограммом. Найти площадь параллелограмма, используя векторное произведение векторов.

Определение предмета и раздела:

Предмет: Геометрия (или Аналитическая геометрия)
Раздел: Векторная геометрия

Шаг 1: Проверка, является ли четырехугольник параллелограммом

Чтобы проверить, является ли этот четырехугольник параллелограммом, нам нужно проверить, что противоположные стороны этого четырехугольника равны и параллельны. Составим векторы, определяющие стороны четырехугольника:

• Вектор $\text{(}\overrightarrow{AB}\text{)}$
• Вектор $\text{(}\overrightarrow{BC}\text{)}$
• Вектор $\text{(}\overrightarrow{CD}\text{)}$
• Вектор $\text{(}\overrightarrow{DA}\text{)}$

Найдем координаты этих векторов:

$\text{[}\overrightarrow{AB}=B-A=(6-6,-2-12,3+3)=(0,-14,6)\text{]}$ $\text{[}\overrightarrow{BC}=C-B=(2-6,0+2,-6-3)=(-4,2,-9)\text{]}$ $\text{[}\overrightarrow{CD}=D-C=(3-2,14-0,-12+6)=(1,14,-6)\text{]}$ $\text{[}\overrightarrow{DA}=A-D=(6-3,12-14,-3+12)=(3,-2,9)\text{]}$

Если четырехугольник является параллелограммом, то должны выполняться следующие равенства: $\text{(}\overrightarrow{AB}\text{)}$ должно быть равно $\text{(}\overrightarrow{CD}\text{)}$ и $\text{(}\overrightarrow{BC}\text{)}$ должно быть равно $\text{(}\overrightarrow{DA}\text{)}$. Однако, заметим, что $\text{(}\overrightarrow{AB}\ne \overrightarrow{CD}\text{)}$ и $\text{(}\overrightarrow{BC}\ne \overrightarrow{DA}\text{)}$. Параллелограммом могут являться угловые перестановки (например, $\text{(}\overrightarrow{AB}\text{)}$ и $\text{(}\overrightarrow{CD}\text{)}$ могут быть параллельны).

Шаг 2: Площадь параллелограмма с помощью векторного произведения

Нам нужно выбрать два смежных неколлинеарных вектора и найти их векторное произведение. В данном случае можем использовать два базовые вектора. Площадь параллелограмма определяется как модуль векторного произведения двух смежных векторов, например $\text{(}\overrightarrow{AB}=(0,-14,6)\text{)}$ и $\text{(}\overrightarrow{AD}=(3,-2,9)\text{)}$:

$\text{[}\overrightarrow{AD}=A-D=(6-3,12-14,-3+12)=(3,-2,9)\text{]}$ $\text{[}\overrightarrow{AB}\times \overrightarrow{AD}=\left|\begin{array}{ccc}\mathbf{i}& \mathbf{j}& \mathbf{k}\\ 0& -14& 6\\ 3& -2& 9\end{array}\right|=\mathbf{i}(-14\cdot 9-6\cdot (-2))-\mathbf{j}(0\cdot 9-6\cdot 3)+\mathbf{k}(0\cdot (-2)-(-14)\cdot 3)=\mathbf{i}(-126+12)-\mathbf{j}(0-18)+\mathbf{k}(0+42)=\mathbf{i}(-114)-\mathbf{j}(-18)+\mathbf{k}(42)\text{]}$ $\text{[}\parallel \overrightarrow{V}\parallel =\sqrt{(-114{)}^2+{18}^2+{42}^2}=\sqrt{12996+324+1764}=\sqrt{15084}\approx 122.86\text{ (кв.ед)}\text{]}$

Таким образом, площадь параллелограмма с вершинами в указанных точках составляет примерно 122.86 квадратных единиц.