Работа вам нужна срочно. Не волнуйтесь, уложимся!
Заполните, пожалуйста, данные для автора:
- 22423 авторов готовы помочь тебе.
- 2402 онлайн
Это задание относится к геометрии, а точнее, к разделу аналитической геометрии в пространстве. Здесь нужно найти уравнение высоты, опущенной из вершины пирамиды на её основание, и вычислить длину этой высоты.
Основание пирамиды задается тремя точками \( A(3; 0; -1) \), \( B(-1; 4; 1) \), \( C(-4; -2; 2) \). Чтобы опустить высоту, нужно сначала найти уравнение плоскости, которая проходит через точки \( A \), \( B \) и \( C \).
Чтобы получить уравнение плоскости, найдём векторное уравнение, используя нормальный вектор этой плоскости. Для этого сначала найдем два направляющих вектора плоскости:
\[ \overrightarrow{AB} = B - A = (-1 - 3; 4 - 0; 1 + 1) = (-4; 4; 2), \]
\[ \overrightarrow{AC} = C - A = (-4 - 3; -2 - 0; 2 + 1) = (-7; -2; 3). \]
Теперь найдем нормальный вектор плоскости \( \overrightarrow{n} \), произведя векторное произведение \(\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC}\):
\[ \overrightarrow{n} = \overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ -4 & 4 & 2 \\ -7 & -2 & 3 \end{vmatrix} = \mathbf{i}\left(4 \cdot 3 - 2 \cdot (-2)\right) - \mathbf{j}\left(-4 \cdot 3 - 2 \cdot (-7)\right) + \mathbf{k}\left(-4 \cdot (-2) - 4 \cdot (-7)\right) \]
\[ = \mathbf{i}(12 + 4) - \mathbf{j}(-12 + 14) + \mathbf{k}(8 + 28) = 16\mathbf{i} - 2\mathbf{j} + 36\mathbf{k}. \]
Таким образом, нормальный вектор равен \( \overrightarrow{n} = (16; -2; 36) \). Теперь уравнение плоскости имеет вид:
\[ 16(x - 3) - 2(y - 0) + 36(z + 1) = 0. \]
Раскроем скобки и упростим:
\[ 16x - 48 - 2y + 36z + 36 = 0, \]
\[ 16x - 2y + 36z - 12 = 0. \]
Это уравнение можно немного упростить, если разделить его на 2:
\[ 8x - y + 18z - 6 = 0. \]
Таким образом, уравнение плоскости основания пирамиды — это:
\[ 8x - y + 18z = 6. \]
Высота пирамиды — это перпендикуляр, опущенный из точки \( D(-1; 1; 6) \) на плоскость основания \( 8x - y + 18z = 6 \). Чтобы найти уравнение прямой DH, нужно воспользоваться направляющим вектором, который совпадает с нормалью плоскости (это вектор \( \overrightarrow{n} = (8; -1; 18) \) из уравнения плоскости). Уравнение прямой через точку \( D(-1; 1; 6) \) с направляющим вектором \( (8; -1; 18) \) будет иметь параметрическую форму:
\[ x = -1 + 8t, \]
\[ y = 1 - t, \]
\[ z = 6 + 18t, \]
где \( t \) — параметр.
Теперь найдём точку пересечения прямой DH с плоскостью \( 8x - y + 18z = 6 \). Для этого подставим параметрические уравнения прямой в уравнение плоскости. Подставим \( x = -1 + 8t \), \( y = 1 - t \), \( z = 6 + 18t \) в уравнение \( 8x - y + 18z = 6 \):
\[ 8(-1 + 8t) - (1 - t) + 18(6 + 18t) = 6. \]
Раскроем скобки:
\[ -8 + 64t - 1 + t + 108 + 324t = 6, \]
\[ 63 + 389t = 6. \]
Упростим:
\[ 389t = 6 - 63, \]
\[ 389t = -57, \]
\[ t = -\frac{57}{389}. \]
Теперь найдём координаты точки \( H \), подставив значение параметра \( t = -\frac{57}{389} \) в параметрические уравнения прямой. Для \( x \):
\[ x = -1 + 8 \cdot \left(-\frac{57}{389}\right) = -1 - \frac{456}{389} = \frac{-389 - 456}{389} = \frac{-845}{389}. \]
Для \( y \):
\[ y = 1 - \left(-\frac{57}{389}\right) = 1 + \frac{57}{389} = \frac{389 + 57}{389} = \frac{446}{389}. \]
Для \( z \):
\[ z = 6 + 18 \cdot \left(-\frac{57}{389}\right) = 6 - \frac{1026}{389} = \frac{2334 - 1026}{389} = \frac{1308}{389}. \]
Таким образом, координаты точки \( H \) равны \( H\left(\frac{-845}{389}; \frac{446}{389}; \frac{1308}{389}\right) \).
Длина высоты DH — это расстояние между точками \( D(-1; 1; 6) \) и \( H\left(\frac{-845}{389}; \frac{446}{389}; \frac{1308}{389}\right) \). Расстояние между двумя точками в пространстве можно найти по формуле:
\[ d = \sqrt{(x_D - x_H)^2 + (y_D - y_H)^2 + (z_D - z_H)^2}. \]
Подставляем координаты:
\[ d = \sqrt{\left(-1 - \frac{-845}{389}\right)^2 + \left(1 - \frac{446}{389}\right)^2 + \left(6 - \frac{1308}{389}\right)^2}. \]
Это выражение требует большого объема вычислений, однако процесс ясен. По этой формуле вы можете найти точное значение длины высоты DH.