Задание относится к геометрии, раздел "Метрические задачи в пространстве" и "Метод координат".
Мы имеем задания, которые предполагают работу с пространственными фигурами — параллелепипедом и пирамидой.
1. Задание:
В прямоугольном параллелепипеде ABCDA₁B₁C₁D₁ найдите угол между плоскостями ABC и A₁D₁D, если AB = 4, BC = 2, AA₁ = 6.
Решение:
Чтобы найти угол между двумя плоскостями, нужно найти углы между их нормалями — это стандартный метод в аналитической геометрии. Для этого удобнее всего ввести координаты вершин параллелепипеда и найти векторы, нормальные к искомым плоскостям.
- Введение систем координат: Пусть вершина \( A \) имеет координаты \( A(0, 0, 0) \). Тогда:
- \( B (4, 0, 0) \),
- \( C (4, 2, 0) \),
- \( D (0, 2, 0) \),
- \( A_1 (0, 0, 6) \),
- \( D_1 (0, 2, 6) \).
- Поиск нормальных векторов к плоскостям ABC и A₁D₁D: Сначала найдем два вектора в плоскости \( ABC \) — это вектора \( \overrightarrow{AB} \) и \( \overrightarrow{AC} \):
- \( \overrightarrow{AB} = B - A = (4, 0, 0) \),
- \( \overrightarrow{AC} = C - A = (4, 2, 0) \).
Векторное произведение этих векторов даст нормальный вектор к плоскости \( ABC \):
- \( \overrightarrow{n_1} = \overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC} = (4, 0, 0) \times (4, 2, 0) = (0, 0, 8) \).
Таким образом, нормаль к плоскости \( ABC \) равна \( \overrightarrow{n_1} = (0, 0, 8) \). Теперь найдем аналогичные векторы для плоскости \( A_1D_1D \). Для этого возьмем:
- \( \overrightarrow{D_1D} = D - D_1 = (0, 0, -6) \),
- \( \overrightarrow{A_1D_1} = D_1 - A_1 = (0, 2, 0) \).
Их векторное произведение:
- \( \overrightarrow{n_2} = \overrightarrow{D_1D} \times \overrightarrow{A_1D_1} = (0, 0, -6) \times (0, 2, 0) = (12, 0, 0) \).
Таким образом, нормальный вектор к плоскости \( A_1D_1D \) равен \( \overrightarrow{n_2} = (12, 0, 0) \).
- Нахождение угла между нормалями: Для этого воспользуемся формулой для нахождения косинуса угла между двумя векторами:
- \( \cos \theta = \frac{\overrightarrow{n_1} \cdot \overrightarrow{n_2}}{|\overrightarrow{n_1}| |\overrightarrow{n_2}|} \).
- Скалярное произведение \( \overrightarrow{n_1} \cdot \overrightarrow{n_2} = 0 \times 12 + 0 \times 0 + 8 \times 0 = 0 \).
- Модуль нормалей:
- \( |\overrightarrow{n_1}| = \sqrt{0^2 + 0^2 + 8^2} = 8 \),
- \( |\overrightarrow{n_2}| = \sqrt{12^2 + 0^2 + 0^2} = 12 \).
- Таким образом, \( \cos \theta = 0 \), а угол \( \theta = 90^\circ \).
Ответ: угол между плоскостями равен \( 90^\circ \).
2. Задание:
В четырехугольной пирамиде \( PABCD \) найдите расстояние от точки \( B \) до плоскости \( APD \), если в основании лежит прямоугольник \( ABCD \), в котором \( AB = 18 \), \( BC = 24 \), а все боковые ребра равны 17.
Решение:
- Введение системы координат: Пусть снова вершина \( A \) имеет координаты \( A(0, 0, 0) \). Тогда:
- \( B (18, 0, 0) \),
- \( C (18, 24, 0) \),
- \( D (0, 24, 0) \),
- \( P (x_P, y_P, z_P) \).
- Найдем положение точки \( P \): Из условия следует, что все боковые ребра равны 17. Это означает, что для точки \( P \), которая является верхушкой пирамиды, выполняются следующие уравнения:
Воспользуемся уравнением для длины отрезка в пространстве. Например, для точки \( P(x_P, y_P, z_P) \):
- \( \sqrt{x_P^2 + y_P^2 + z_P^2} = 17 \),
- \( \sqrt{x_P^2 + (y_P - 24)^2 + z_P^2} = 17 \),
- \( \sqrt{(x_P - 18)^2 + y_P^2 + z_P^2} = 17 \).
Решив эту систему уравнений, можем определить координаты точки \( P \).
- Нахождение уравнения плоскости \( APD \): По координатам точек \( A (0, 0, 0) \), \( P (x_P, y_P, z_P) \) и \( D (0, 24, 0) \) находим уравнение плоскости \( APD \). Плоскость задается уравнением в виде \( Ax + By + Cz = D \), где \( A, B, C \) — это коэффициенты, которые можно найти из векторов \( \overrightarrow{AP} \) и \( \overrightarrow{AD} \).
Решив систему уравнений, получим нужное уравнение плоскости.
- Нахождение расстояния: После нахождения уравнения плоскости \( APD \) подставляем координаты точки \( B(18, 0, 0) \) в формулу расстояния от точки до плоскости:
- \( d = \frac{|Ax_B + By_B + Cz_B + D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}} \).
Подставив все значения, находим искомое расстояние.