Найти углы треугольника с вершинами

Предмет: Математика (Геометрия)

Раздел: Аналитическая геометрия

Задача: Найти углы треугольника с вершинами \(A(2; -1; 3)\), \(B(1; 1; 1)\) и \(C(0; 0; 5)\).

Решение:

Для того чтобы найти углы треугольника, сначала найдем векторы сторон треугольника, а затем воспользуемся формулой косинуса угла между векторами.

1. Найдем векторы сторон треугольника:
   • Вектор \( \overrightarrow{AB} = B - A \):
     \[ \overrightarrow{AB} = (1 - 2, 1 - (-1), 1 - 3) = (-1, 2, -2) \]
   • Вектор \( \overrightarrow{AC} = C - A \):
     \[ \overrightarrow{AC} = (0 - 2, 0 - (-1), 5 - 3) = (-2, 1, 2) \]
   • Вектор \( \overrightarrow{BC} = C - B \):
     \[ \overrightarrow{BC} = (0 - 1, 0 - 1, 5 - 1) = (-1, -1, 4) \]
2. Вычислим длины векторов:
   • Длина вектора \( \overrightarrow{AB} \):
     \[ |\overrightarrow{AB}| = \sqrt{(-1)^2 + 2^2 + (-2)^2} = \sqrt{1 + 4 + 4} = \sqrt{9} = 3 \]
   • Длина вектора \( \overrightarrow{AC} \):
     \[ |\overrightarrow{AC}| = \sqrt{(-2)^2 + 1^2 + 2^2} = \sqrt{4 + 1 + 4} = \sqrt{9} = 3 \]
   • Длина вектора \( \overrightarrow{BC} \):
     \[ |\overrightarrow{BC}| = \sqrt{(-1)^2 + (-1)^2 + 4^2} = \sqrt{1 + 1 + 16} = \sqrt{18} = 3\sqrt{2} \]
3. Найдем углы треугольника с использованием скалярного произведения векторов:

   Формула косинуса угла между векторами \( \overrightarrow{u} \) и \( \overrightarrow{v} \):
   \[ \cos \theta = \frac{\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v}}{|\overrightarrow{u}| |\overrightarrow{v}|} \]

   • Угол при вершине \(A\) между векторами \( \overrightarrow{AB} \) и \( \overrightarrow{AC} \):
     Найдем скалярное произведение \( \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} \):
     \[ \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = (-1) \cdot (-2) + 2 \cdot 1 + (-2) \cdot 2 = 2 + 2 - 4 = 0 \]
     Так как скалярное произведение равно нулю, векторы \( \overrightarrow{AB} \) и \( \overrightarrow{AC} \) ортогональны, следовательно, угол при вершине \(A\) равен \(90^\circ\).
   • Угол при вершине \(B\) между векторами \( \overrightarrow{AB} \) и \( \overrightarrow{BC} \):
     Найдем скалярное произведение \( \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{BC} \):
     \[ \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{BC} = (-1) \cdot (-1) + 2 \cdot (-1) + (-2) \cdot 4 = 1 - 2 - 8 = -9 \]
     Теперь находим косинус угла \( \cos \angle B \):
     \[ \cos \angle B = \frac{-9}{(3)(3\sqrt{2})} = \frac{-9}{9\sqrt{2}} = -\frac{1}{\sqrt{2}} \]
     Отсюда угол \(B = 135^\circ - 90^\circ = 45^\circ \).