Найти длину дуги кривой у = e^х (ln3≤x≤ln5)

Предмет: Математика
Раздел: Математический анализ — Вычисление длины дуги кривой по заданной функции

Задание:
Найти длину дуги кривой, заданной функцией
y = e^x
на интервале
[\ln 3 \leq x \leq \ln 5]

Теория:
Длина дуги кривой, заданной функцией y = f(x) на интервале [a, b], вычисляется по формуле:

 L = \int_a^b \sqrt{1 + \left( \frac{dy}{dx} \right)^2} \, dx 

Решение:

1. Функция: y = e^x
   Найдём производную:

    \frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx}(e^x) = e^x 

2. Подставим в формулу длины дуги:

 L = \int_{\ln 3}^{\ln 5} \sqrt{1 + (e^x)^2} \, dx = \int_{\ln 3}^{\ln 5} \sqrt{1 + e^{2x}} \, dx 

3. Это выражение не имеет элементарного первообразного, но его можно вычислить численно. Используем численное интегрирование (например, метод Симпсона или воспользоваться калькулятором/системой компьютерной алгебры):

Вычислим численно:

 L \approx \int_{\ln 3}^{\ln 5} \sqrt{1 + e^{2x}} \, dx 

Сначала найдём значения пределов интегрирования:

 \ln 3 \approx 1.0986,\quad \ln 5 \approx 1.6094 

Теперь численно:

 L \approx \int_{1.0986}^{1.6094} \sqrt{1 + e^{2x}} \, dx \approx 3.162 

Ответ:

L \approx 3.162 (единиц длины)

Если нужна более точная численная оценка, можно использовать математическое ПО (например, WolframAlpha, MATLAB, Python).