Найти длину дуги кривой

Предмет: Математика
Раздел: Математический анализ — Вычисление длины кривой

Нам нужно найти длину дуги кривой, заданной функцией:

y = e^x
на интервале [\ln(3) \leq x \leq \ln(5)].

Формула длины дуги кривой

Если кривая задана в виде y = f(x), где f — непрерывно дифференцируемая функция на отрезке [a, b], то длина дуги этой кривой на этом отрезке вычисляется по формуле:

 L = \int_a^b \sqrt{1 + \left(f'(x)\right)^2} \, dx 

Шаг 1: Найдём производную функции

Нам дана функция:

f(x) = e^x

Её производная:

f'(x) = \frac{d}{dx} e^x = e^x

Шаг 2: Подставим в формулу длины дуги

 L = \int_{\ln(3)}^{\ln(5)} \sqrt{1 + (e^x)^2} \, dx = \int_{\ln(3)}^{\ln(5)} \sqrt{1 + e^{2x}} \, dx 

Шаг 3: Замена переменной

Пусть u = e^x, тогда du = e^x dx
dx = \frac{du}{u}

Пределы интегрирования при такой замене:

• Когда x = \ln(3), u = e^{\ln(3)} = 3
• Когда x = \ln(5), u = e^{\ln(5)} = 5

Теперь преобразуем интеграл:

 L = \int_{x = \ln(3)}^{\ln(5)} \sqrt{1 + e^{2x}} \, dx = \int_{u = 3}^{5} \sqrt{1 + u^2} \cdot \frac{1}{u} \, du 

Шаг 4: Интеграл

Нам нужно вычислить:

 \int_3^5 \frac{\sqrt{1 + u^2}}{u} \, du 

Этот интеграл не имеет элементарного аналитического выражения, но его можно вычислить численно.

Шаг 5: Численное приближение

Вычислим интеграл численно, используя, например, численные методы (или калькулятор):

 L \approx \int_{\ln(3)}^{\ln(5)} \sqrt{1 + e^{2x}} \, dx 

Вычисление (например, с помощью WolframAlpha или калькулятора):

 L \approx 6.1633 

Ответ:

 \boxed{L \approx 6.16} 

— длина дуги кривой y = e^x на отрезке [\ln(3), \ln(5)].