Найдите площадь фигуры y=0, y=1-x”2

Предмет: Математика
Раздел: Интегралы, нахождение площади фигуры

Дана фигура, ограниченная кривыми:
y = 0 (ось Ox) и
y = 1 - x^2 (парабола).

Нужно найти площадь фигуры, ограниченной этими кривыми.

Шаг 1: Найдем точки пересечения кривых

Приравняем функции, чтобы найти границы интегрирования:

0 = 1 - x^2
Отсюда:
x^2 = 1 \implies x = \pm 1

Значит, фигура ограничена по оси Ox от -1 до 1.

Шаг 2: Запишем выражение для площади

Площадь фигуры равна интегралу разности верхней функции и нижней функции на отрезке от -1 до 1:

 S = \int_{-1}^{1} \big( (1 - x^2) - 0 \big) \, dx = \int_{-1}^{1} (1 - x^2) \, dx 

Шаг 3: Вычислим интеграл

Интегрируем по частям:

 \int (1 - x^2) \, dx = \int 1 \, dx - \int x^2 \, dx = x - \frac{x^3}{3} + C 

Подставим пределы интегрирования:

 S = \left[ x - \frac{x^3}{3} \right]_{-1}^{1} = \left(1 - \frac{1^3}{3}\right) - \left(-1 - \frac{(-1)^3}{3}\right) 

Вычислим отдельно:

 1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3} 

 -1 - \left(-\frac{1}{3}\right) = -1 + \frac{1}{3} = -\frac{2}{3} 

Тогда:

 S = \frac{2}{3} - \left(-\frac{2}{3}\right) = \frac{2}{3} + \frac{2}{3} = \frac{4}{3} 

Ответ:

Площадь фигуры равна \frac{4}{3}.