Нахождение косинуса угла между двумя плоскостями

Этот вопрос относится к предмету аналитическая геометрия, конкретно к изучению углов между плоскостями в пространстве.

Для нахождения косинуса угла между двумя плоскостями следует воспользоваться скалярным произведением нормальных векторов этих плоскостей. Даны плоскости: \[ p_1: -x + 2y - z + 1 = 0 \] \[ p_2: y + 3z - 1 = 0 \] Первым шагом найдем нормальные векторы для каждой из плоскостей.

Нормальный вектор плоскости \( p_1 \): \(\mathbf{n_1} = (-1, 2, -1)\) Нормальный вектор плоскости \( p_2 \): \(\mathbf{n_2} = (0, 1, 3)\) Теперь используем формулу для нахождения косинуса угла между двумя векторами: \[ \cos \theta = \frac{\mathbf{n_1} \cdot \mathbf{n_2}}{\|\mathbf{n_1}\| \|\mathbf{n_2}\|} \]

Сначала найдем скалярное произведение векторов \(\mathbf{n_1}\) и \(\mathbf{n_2}\): \[ \mathbf{n_1} \cdot \mathbf{n_2} = (-1) \cdot 0 + 2 \cdot 1 + (-1) \cdot 3 = 0 + 2 - 3 = -1 \] Теперь найдем длины этих векторов: \[ \|\mathbf{n_1}\| = \sqrt{(-1)^2 + 2^2 + (-1)^2} = \sqrt{1 + 4 + 1} = \sqrt{6} \] \[ \|\mathbf{n_2}\| = \sqrt{0^2 + 1^2 + 3^2} = \sqrt{0 + 1 + 9} = \sqrt{10} \]

Подставим значения в формулу для косинуса: \[ \cos \theta = \frac{-1}{\sqrt{6} \cdot \sqrt{10}} = \frac{-1}{\sqrt{60}} = \frac{-1}{2\sqrt{15}} = -\frac{\sqrt{15}}{30} \] Поскольку по условию задачи нам нужно найти косинус ОСТРОГО угла, то модуль (или по абсолютной величине каноническая формула) будет: \[ \cos \theta = \left|\frac{\sqrt{15}}{30}\right| = \frac{\sqrt{15}}{30} \] Таким образом, косинус острого угла между двумя плоскостями равен: \[ \cos \theta = \frac{\sqrt{15}}{30} \]