Изготовить открытую сверху коробку, вырезая по углам листа равные квадраты и загибая оставшиеся боковые полосы под прямым углом

Предмет: Математика

Раздел: Оптимизация функций, геометрия

Решение:

Обозначим длину стороны вырезаемого квадрата через \(x\) (в сантиметрах). После вырезания квадратов и сгибания боковых полос коробка будет иметь:

• Высоту: \(x\),
• Длину: \(24 - 2x\),
• Ширину: \(9 - 2x\).

Объем коробки \(V\) определяется формулой:

\[ V = \text{длина} \cdot \text{ширина} \cdot \text{высота} = (24 - 2x)(9 - 2x)x. \]

Раскроем скобки:

\[ V = x(24 - 2x)(9 - 2x). \]

\[ V = x[216 - 48x - 18x + 4x^2]. \]

\[ V = 216x - 48x^2 - 18x^2 + 4x^3. \]

Соберем все члены:

\[ V = 4x^3 - 66x^2 + 216x. \]

Шаг 1. Найти производную \(V'(x)\) для максимизации объема:

\[ V'(x) = \frac{d}{dx}(4x^3 - 66x^2 + 216x). \]

\[ V'(x) = 12x^2 - 132x + 216. \]

Шаг 2. Найти критические точки:

Найдем корни уравнения \(V'(x) = 0\):

\[ 12x^2 - 132x + 216 = 0. \]

Сократим на 12:

\[ x^2 - 11x + 18 = 0. \]

Решим квадратное уравнение с помощью дискриминанта:

\[ D = (-11)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 18 = 121 - 72 = 49. \]

Найдем корни:

\[ x_1 = \frac{-(-11) - \sqrt{49}}{2 \cdot 1} = \frac{11 - 7}{2} = 2. \]

\[ x_2 = \frac{-(-11) + \sqrt{49}}{2 \cdot 1} = \frac{11 + 7}{2} = 9. \]

Шаг 3. Проверим ограничения:

Так как квадраты вырезаются из углов прямоугольника, их сторона \(x\) должна удовлетворять условиям:

\[ 0 < x < \frac{9}{2}, \quad 0 < x < \frac{24}{2}. \]

Максимальное значение \(x\) ограничено минимальной стороной прямоугольника (\(9\)), то есть \(x < 4.5\). Значит возможное значение: \(x = 2\).

Шаг 4. Проверка на максимум:

Подставим \(x = 2\), чтобы вычислить объем \(V\):

\[ V = 4(2)^3 - 66(2)^2 + 216(2). \]

\[ V = 4 \cdot 8 - 66 \cdot 4 + 432. \]

\[ V = 32 - 264 + 432 = 200 \, \text{см}^3. \]

Ответ:

Стороны вырезаемых квадратов должны быть равны 2 см, чтобы вместимость коробки была наибольшей.