Вычислить обьем тела, полученного вращением криволинейной трапеции,ограниченной линиями

Предмет: Математика
Раздел: Интегралы, объемы тел вращения

Условие задачи:

Найти объем тела, полученного вращением области, ограниченной кривыми:

• y = x^2
• 8x = y^2

вокруг оси Oy (оси y).

Шаг 1: Найдём точки пересечения кривых

Найдем точки пересечения графиков y = x^2 и y^2 = 8x. Подставим y = x^2 во второе уравнение:

 (x^2)^2 = 8x \ x^4 = 8x \ x^4 - 8x = 0 \ x(x^3 - 8) = 0 

Решения:

• x = 0
• x^3 = 8 \Rightarrow x = 2

Теперь найдём соответствующие значения y:

• При x = 0: y = 0
• При x = 2: y = 4

Значит, область вращения ограничена по y от 0 до 4.

Шаг 2: Выразим x через y

Поскольку вращаем вокруг оси Oy, применим метод цилиндрических слоёв (метод оболочек), или — что проще — выразим x как функцию от y.

Из y = x^2 получаем:
x = \sqrt{y} (так как x \geq 0 в данной области)

Из y^2 = 8x получаем:
x = \dfrac{y^2}{8}

Таким образом, при фиксированном y \in [0, 4], x изменяется от x = \dfrac{y^2}{8} до x = \sqrt{y}.

Шаг 3: Формула объема вращения вокруг оси Oy

Используем формулу объема тела вращения вокруг вертикальной оси Oy:

 V = 2\pi \int_{a}^{b} x(y) \cdot f(y) \, dy 

Но в нашем случае проще использовать метод дисков (кольцевых сечений), так как x выражен через y. Формула объема:

 V = \pi \int_{y=0}^{4} \left( \left(\sqrt{y}\right)^2 - \left(\dfrac{y^2}{8}\right)^2 \right) dy 

Упростим подынтегральное выражение:

 \left(\sqrt{y}\right)^2 = y, \quad \left(\dfrac{y^2}{8}\right)^2 = \dfrac{y^4}{64} 

Итак, объем:

 V = \pi \int_{0}^{4} \left( y - \dfrac{y^4}{64} \right) dy 

Шаг 4: Вычислим интеграл

 \int_{0}^{4} \left( y - \dfrac{y^4}{64} \right) dy = \left[ \dfrac{y^2}{2} - \dfrac{y^5}{320} \right]_{0}^{4} 

Подставим:

 \dfrac{4^2}{2} - \dfrac{4^5}{320} = \dfrac{16}{2} - \dfrac{1024}{320} = 8 - \dfrac{32}{10} = 8 - 3.2 = 4.8 

Теперь умножим на \pi:

 V = \pi \cdot 4.8 = \dfrac{24\pi}{5} 

Ответ:

V = \dfrac{24\pi}{5} — объем тела вращения.