Вычислить угол между диагоналями параллелограмма, построенного на векторах

Задание относится к дисциплине линейная алгебра, в частности к разделу векторы в трехмерном пространстве.

Задача:

Вычислить угол между диагоналями параллелограмма, построенного на векторах \( \mathbf{a} = 2\mathbf{i} - 6\mathbf{j} + 7\mathbf{k} \) и \( \mathbf{b} = \mathbf{i} + 2\mathbf{j} - 2\mathbf{k} \).

Шаг 1: Определение диагоналей параллелограмма.

Диагонали параллелограмма выражаются при помощи суммы и разности векторов:

1. Первая диагональ: \( \mathbf{d}_1 = \mathbf{a} + \mathbf{b} \)
2. Вторая диагональ: \( \mathbf{d}_2 = \mathbf{a} - \mathbf{b} \)

Шаг 2: Найдём координаты этих диагоналей.

Вычислим \( \mathbf{d}_1 \) и \( \mathbf{d}_2 \):

1. \( \mathbf{d}_1 = \mathbf{a} + \mathbf{b} = (2\mathbf{i} - 6\mathbf{j} + 7\mathbf{k}) + (\mathbf{i} + 2\mathbf{j} - 2\mathbf{k}) \)
   \[ \mathbf{d}_1 = (2 + 1)\mathbf{i} + (-6 + 2)\mathbf{j} + (7 - 2)\mathbf{k} = 3\mathbf{i} - 4\mathbf{j} + 5\mathbf{k} \]
   Таким образом, \( \mathbf{d}_1 = 3\mathbf{i} - 4\mathbf{j} + 5\mathbf{k} \).
2. \( \mathbf{d}_2 = \mathbf{a} - \mathbf{b} = (2\mathbf{i} - 6\mathbf{j} + 7\mathbf{k}) - (\mathbf{i} + 2\mathbf{j} - 2\mathbf{k}) \)
   \[ \mathbf{d}_2 = (2 - 1)\mathbf{i} + (-6 - 2)\mathbf{j} + (7 - (-2))\mathbf{k} = 1\mathbf{i} - 8\mathbf{j} + 9\mathbf{k} \]
   Таким образом, \( \mathbf{d}_2 = 1\mathbf{i} - 8\mathbf{j} + 9\mathbf{k} \).

Шаг 3: Найдем угол между диагоналями.

Угол между векторами можно найти с помощью формулы косинуса угла между ними:

\[ \cos \theta = \frac{\mathbf{d}_1 \cdot \mathbf{d}_2}{|\mathbf{d}_1| |\mathbf{d}_2|} \]

Найдем скалярное произведение \( \mathbf{d}_1 \cdot \mathbf{d}_2 \):

\[ \mathbf{d}_1 \cdot \mathbf{d}_2 = (3)(1) + (-4)(-8) + (5)(9) = 3 + 32 + 45 = 80 \]

Теперь найдем длины векторов \( |\mathbf{d}_1| \) и \( |\mathbf{d}_2| \).

1. Длина вектора \( \mathbf{d}_1 \):
   \[ |\mathbf{d}_1| = \sqrt{3^2 + (-4)^2 + 5^2} = \sqrt{9 + 16 + 25} = \sqrt{50} \]
2. Длина вектора \( \mathbf{d}_2 \):
   \[ |\mathbf{d}_2| = \sqrt{1^2 + (-8)^2 + 9^2} = \sqrt{1 + 64 + 81} = \sqrt{146} \]

Подставляем все значения в формулу для нахождения косинуса угла:

\[ \cos \theta = \frac{80}{\sqrt{50} \cdot \sqrt{146}} = \frac{80}{\sqrt{7300}} = \frac{80}{85.44} \approx 0.936 \]

Найдем сам угол:

\[ \theta = \arccos(0.936) \approx 20.7^\circ \]

Ответ:

Угол между диагоналями параллелограмма составляет примерно 20.7 градусов.