Проверить, образуют ли векторы базис в каждом из пяти случаев

Предмет: Линейная алгебра и аналитическая геометрия

Раздел: Векторы, базисы, уравнения прямых и плоскостей

Будем решать задания по порядку.

Задание 1

Проверить, образуют ли векторы базис в каждом из пяти случаев.

Условие: ( a, b ) — базис (векторы линейно независимы).

Для проверки, образуют ли заданные векторы базис, нужно проверить их линейную независимость. В двумерном пространстве это означает, что один вектор не должен быть пропорционален другому.

1. ( a, -2b ):

Если ( a ) и ( b ) образуют базис, то ( a ) и ( -2b ) также линейно независимы, так как множитель (-2) не влияет на независимость.
Ответ: Да, образуют базис.

2. ( b, a ):

Порядок векторов не влияет на линейную независимость.
Ответ: Да, образуют базис.

3. ( a, b+a ):

Проверим:
[ b+a = a + b ]
Вектор ( b+a ) является линейной комбинацией ( a ) и ( b ), поэтому ( a ) и ( b+a ) линейно зависимы.
Ответ: Нет, не образуют базис.

4. ( a, b, b+a ):

В двумерном пространстве базис состоит из двух векторов. Три вектора в двумерном пространстве всегда линейно зависимы.
Ответ: Нет, не образуют базис.

5. ( a-b, b-a ):

Проверим:
[ b-a = -(a-b) ]
Векторы ( a-b ) и ( b-a ) пропорциональны, следовательно, линейно зависимы.
Ответ: Нет, не образуют базис.

Задание 2

Проверить, коллинеарны ли векторы ( a-c ) и ( b+c ).

Дано:

[ a = (-1, 3, 2), \quad b = (0, 1, 1), \quad c = (-2, 7, 5). ]

Найдем ( a-c ):

[ a-c = (-1 - (-2), 3 - 7, 2 - 5) = (1, -4, -3). ]

Найдем ( b+c ):

[ b+c = (0 + (-2), 1 + 7, 1 + 5) = (-2, 8, 6). ]

Проверим коллинеарность:

Векторы ( a-c ) и ( b+c ) коллинеарны, если существует число ( k ), такое что:
[ (1, -4, -3) = k(-2, 8, 6). ]

Рассмотрим отношения координат:
[ k = \frac{1}{-2}, \quad k = \frac{-4}{8}, \quad k = \frac{-3}{6}. ]

Все отношения равны ( k = -\frac{1}{2} ). Следовательно, векторы коллинеарны.
Ответ: Векторы ( a-c ) и ( b+c ) коллинеарны.

Задание 3

Найти скалярное произведение векторов ( |a| = 8 ), ( |b| = 1 ), угол между ними ( \angle(a, b) = 120^\circ ).

Скалярное произведение вычисляется по формуле:
[ a \cdot b = |a| \cdot |b| \cdot \cos \angle(a, b). ]

Подставим значения:
[ a \cdot b = 8 \cdot 1 \cdot \cos 120^\circ. ]

Известно, что ( \cos 120^\circ = -\frac{1}{2} ):
[ a \cdot b = 8 \cdot 1 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) = -4. ]

Ответ: ( a \cdot b = -4 ).

Задание 4

Найти скалярное произведение векторов ( a = 3i + j + 2k ), ( b = -2i + 3j - k ).

Скалярное произведение двух векторов вычисляется по формуле:
[ a \cdot b = a_x \cdot b_x + a_y \cdot b_y + a_z \cdot b_z. ]

Подставим координаты:
[ a \cdot b = 3 \cdot (-2) + 1 \cdot 3 + 2 \cdot (-1). ]

Выполним вычисления:
[ a \cdot b = -6 + 3 - 2 = -5. ]

Ответ: ( a \cdot b = -5 ).

Продолжить с задания 5?