Проверить, компланарны ли три вектора

Предмет: Аналитическая геометрия (линейная алгебра).

Раздел: Векторы в пространстве.

Задание: Проверить, компланарны ли три вектора \( \mathbf{a} \), \( \mathbf{b} \) и \( \mathbf{c} \).

Шаг 1: Понятие компланарности

Три вектора считаются компланарными, если они лежат в одной плоскости, что эквивалентно тому, что объем параллелепипеда, построенного на этих векторах, равен нулю. Этот объем можно вычислить как смешанное произведение трех векторов. Если смешанное произведение равно нулю, то векторы компланарны.

Шаг 2: Выражение для смешанного произведения

Смешанное произведение трех векторов \( \mathbf{a} \), \( \mathbf{b} \), \( \mathbf{c} \) записывается как: \[ [\mathbf{a}, \mathbf{b}, \mathbf{c}] = \mathbf{a} \cdot (\mathbf{b} \times \mathbf{c}), \] где \( \mathbf{b} \times \mathbf{c} \) — векторное произведение векторов \( \mathbf{b} \) и \( \mathbf{c} \), а результат скалярного произведения — это число.

Шаг 3: Векторное произведение \( \mathbf{b} \times \mathbf{c} \)

Запишем координаты векторов: \[ \mathbf{a} = \{ 3, 7, 2 \}, \quad \mathbf{b} = \{-2, 0, -1\}, \quad \mathbf{c} = \{ 2, 2, 1 \}. \] Найдем векторное произведение \( \mathbf{b} \times \mathbf{c} \) по формуле: \[ \mathbf{b} \times \mathbf{c} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ -2 & 0 & -1 \\ 2 & 2 & 1 \end{vmatrix} = \mathbf{i} \begin{vmatrix} 0 & -1 \\ 2 & 1 \end{vmatrix} - \mathbf{j} \begin{vmatrix} -2 & -1 \\ 2 & 1 \end{vmatrix} + \mathbf{k} \begin{vmatrix} -2 & 0 \\ 2 & 2 \end{vmatrix}. \] Вычислим каждый определитель: \[ \mathbf{i}: \quad \begin{vmatrix} 0 & -1 \\ 2 & 1 \end{vmatrix} = (0 \cdot 1) - (2 \cdot -1) = 2, \] \[ \mathbf{j}: \quad \begin{vmatrix} -2 & -1 \\ 2 & 1 \end{vmatrix} = (-2 \cdot 1) - (-1 \cdot 2) = -2 + 2 = 0, \] \[ \mathbf{k}: \quad \begin{vmatrix} -2 & 0 \\ 2 & 2 \end{vmatrix} = (-2 \cdot 2) - (0 \cdot 2) = -4. \] Итак, \[ \mathbf{b} \times \mathbf{c} = 2 \mathbf{i} - 0 \mathbf{j} - 4 \mathbf{k} = \{ 2, 0, -4 \}. \]

Шаг 4: Скалярное произведение \( \mathbf{a} \cdot (\mathbf{b} \times \mathbf{c}) \)

Теперь вычислим скалярное произведение: \[ \mathbf{a} \cdot (\mathbf{b} \times \mathbf{c}) = (3 \cdot 2) + (7 \cdot 0) + (2 \cdot -4) = 6 + 0 - 8 = -2. \]

Шаг 5: Вывод

Ответ: Нет, векторы не компланарны.

Так как смешанное произведение \([\mathbf{a}, \mathbf{b}, \mathbf{c}] = -2 \neq 0\), векторы \(\mathbf{a}\), \(\mathbf{b}\), \(\mathbf{c}\) не компланарны.