Определить площадь параллелограмма, построенного на векторах

Анализ условия задачи:

1. Нам дано выражение для векторов \( \mathbf{a} \) и \( \mathbf{b} \).
• \( \mathbf{a} = 7\mathbf{p} + \mathbf{q} \)
• \( \mathbf{b} = \mathbf{p} - 3\mathbf{q} \)
2. Также известно:
• \( \mathbf{p} = 3 \)
• \( \mathbf{q} = 1 \)
• Угол между векторами \( \mathbf{p} \) и \( \mathbf{q} \), обозначенный как \( (\mathbf{p}, \mathbf{q}) \), равен \( \frac{3\pi}{4} \).

Задача:

Определить площадь параллелограмма, построенного на векторах \( \mathbf{a} \) и \( \mathbf{b} \).

Определение:

Площадь параллелограмма, построенного на векторах \( \mathbf{a} \) и \( \mathbf{b} \), равна модулю векторного произведения этих векторов: \[ S = |\mathbf{a} \times \mathbf{b}| \]

Однако для начала давайте вернемся к базовым определениям. Нашим ключевым заданием является найти векторное произведение.

1. Найдем векторы \( \mathbf{a} \) и \( \mathbf{b} \)

Выразим векторы в компонентах, используя скалярные значения \( \mathbf{p} \) и \( \mathbf{q} \):

• \( \mathbf{a} = 7\mathbf{p} + \mathbf{q} = 7 \times 3 + 1 = 21 + 1 = 22 \)
• \( \mathbf{b} = \mathbf{p} - 3\mathbf{q} = 3 - 3 \times 1 = 3 - 3 = 0 \)

2. Вывод

Получилось, что один из векторов (вектор \( \mathbf{b} \)) оказался равен нулю. Это значит, что параллелограмма в данном случае не существует, потому что он не может быть построен на одном ненулевом векторе. Следовательно, площадь такого параллелограмма равна нулю.

Ответ:

Площадь параллелограмма \( S = 0 \).