Найти значения выражений

Предмет: Математика (алгебра и геометрия)

Раздел: Векторы, операции над векторами, скалярное произведение.

Дано два вектора a и b, при этом их длины и угол между ними даны:

• |\vec{a}| = 3,
• |\vec{b}| = 4,
• угол между векторами \(\vec{a}\) и \(\vec{b}\) равен \(\frac{2\pi}{3}\).

Потребуется скалярное произведение векторов:

\[(\vec{a}, \vec{b}) = |\vec{a}| \cdot |\vec{b}| \cdot \cos(\theta)\], где \(\theta = \frac{2\pi}{3}\).

\[\cos\left(\frac{2\pi}{3}\right) = -\frac{1}{2}.\]

Тогда:

\[(\vec{a}, \vec{b}) = 3 \cdot 4 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) = -6.\]

Решение по пунктам:

а) Найти \( (\vec{a})^2 \).

\[(\vec{a})^2 = \vec{a} \cdot \vec{a} = |\vec{a}|^2 = 3^2 = 9.\]

Ответ: \( 9 \).

б) Найти \( (3\vec{a} - 2\vec{b}) \cdot (\vec{a} + 2\vec{b}) \).

Раскроем скобки:

\[(3\vec{a} - 2\vec{b}) \cdot (\vec{a} + 2\vec{b}) = 3\vec{a} \cdot \vec{a} + 6\vec{a} \cdot \vec{b} - 2\vec{b} \cdot \vec{a} - 4\vec{b} \cdot \vec{b}.\]

Заменяем скалярные произведения:

• \(\vec{a} \cdot \vec{a} = |\vec{a}|^2 = 3^2 = 9\),
• \(\vec{a} \cdot \vec{b} = -6\),
• \(\vec{b} \cdot \vec{b} = |\vec{b}|^2 = 4^2 = 16\).

Теперь считаем:

\[3 \cdot 9 + 6 \cdot (-6) - 2 \cdot (-6) - 4 \cdot 16 = 27 - 36 + 12 - 64 = -61.\]

Ответ: \( -61 \).

в) Найти \( (\vec{a} + \vec{b})^2 \).

Запишем:

\[(\vec{a} + \vec{b})^2 = (\vec{a}+\vec{b}) \cdot (\vec{a}+\vec{b}) = \vec{a} \cdot \vec{a} + 2\vec{a} \cdot \vec{b} + \vec{b} \cdot \vec{b}.\]

Подставляем:

• \(\vec{a} \cdot \vec{a} = 9\),
• \(\vec{a} \cdot \vec{b} = -6\),
• \(\vec{b} \cdot \vec{b} = 16\).

Получаем:

\[9 + 2 \cdot (-6) + 16 = 9 - 12 + 16 = 13.\]

Ответ: \( 13 \).

г) Найти \( |\vec{c} + \vec{d}| \), где \(\vec{c} = 2\vec{a} + \vec{b}\), \(\vec{d} = -\vec{a} + \vec{b}\).

Сначала найдём сумму векторов:

\[\vec{c} + \vec{d} = (2\vec{a} + \vec{b}) + (-\vec{a} + \vec{b}) = 2\vec{a} - \vec{a} + \vec{b} + \vec{b} = \vec{a} + 2\vec{b}.\]

Теперь найдём длину \( |\vec{a} + 2\vec{b}| \):

\[|\vec{a} + 2\vec{b}|^2 = (\vec{a} + 2\vec{b}) \cdot (\vec{a} + 2\vec{b}) = \vec{a} \cdot \vec{a} + 4 \vec{a} \cdot \vec{b} + 4 \vec{b} \cdot \vec{b}.\]

Подставим известные значения:

\[|\vec{a} + 2\vec{b}|^2 = 9 + 4 \cdot (-6) + 4 \cdot 16 = 9 - 24 + 64 = 49.\]

Тогда:

\[|\vec{a} + 2\vec{b}| = \sqrt{49} = 7.\]

Итоги:

• а) \( 9 \),
• б) \( -61 \),
• в) \( 13 \),
• г) \( 7 \).

Ответ: \( 7 \).